Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 11 x^{4} + 10 x^{3} - 144 x^{2} - 130 x + 13$

Etapa 1

Encontre as intersecções com o eixo x.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para encontrar as intersecções com o eixo x, substitua $0$ por $y$ e resolva $x$ .

$0 = 11 x^{4} + 10 x^{3} - 144 x^{2} - 130 x + 13$

Etapa 1.2

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Reescreva a equação como $11 x^{4} + 10 x^{3} - 144 x^{2} - 130 x + 13 = 0$ .

$11 x^{4} + 10 x^{3} - 144 x^{2} - 130 x + 13 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Reagrupe os termos.

$10 x^{3} - 130 x + 11 x^{4} - 144 x^{2} + 13 = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $10 x$ de $10 x^{3} - 130 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Fatore $10 x$ de $10 x^{3}$ .

$10 x (x^{2}) - 130 x + 11 x^{4} - 144 x^{2} + 13 = 0$

Etapa 1.2.2.2.2

Fatore $10 x$ de $- 130 x$ .

$10 x (x^{2}) + 10 x (- 13) + 11 x^{4} - 144 x^{2} + 13 = 0$

Etapa 1.2.2.2.3

Fatore $10 x$ de $10 x (x^{2}) + 10 x (- 13)$ .

$10 x (x^{2} - 13) + 11 x^{4} - 144 x^{2} + 13 = 0$

Etapa 1.2.2.3

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$10 x (x^{2} - 13) + 11 {(x^{2})}^{2} - 144 x^{2} + 13 = 0$

Etapa 1.2.2.4

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$10 x (x^{2} - 13) + 11 u^{2} - 144 u + 13 = 0$

Etapa 1.2.2.5

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.5.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 11 \cdot 13 = 143$ e cuja soma é $b = - 144$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.5.1.1

Fatore $- 144$ de $- 144 u$ .

$10 x (x^{2} - 13) + 11 u^{2} - 144 u + 13 = 0$

Etapa 1.2.2.5.1.2

Reescreva $- 144$ como $- 1$ mais $- 143$

$10 x (x^{2} - 13) + 11 u^{2} + (- 1 - 143) u + 13 = 0$

Etapa 1.2.2.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$10 x (x^{2} - 13) + 11 u^{2} - 1 u - 143 u + 13 = 0$

Etapa 1.2.2.5.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.5.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$10 x (x^{2} - 13) + 11 u^{2} - 1 u - 143 u + 13 = 0$

Etapa 1.2.2.5.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$10 x (x^{2} - 13) + u (11 u - 1) - 13 (11 u - 1) = 0$

Etapa 1.2.2.5.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $11 u - 1$ .

$10 x (x^{2} - 13) + (11 u - 1) (u - 13) = 0$

Etapa 1.2.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$10 x (x^{2} - 13) + (11 x^{2} - 1) (x^{2} - 13) = 0$

Etapa 1.2.2.7

Fatore $x^{2} - 13$ de $10 x (x^{2} - 13) + (11 x^{2} - 1) (x^{2} - 13)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.7.1

Fatore $x^{2} - 13$ de $10 x (x^{2} - 13)$ .

$(x^{2} - 13) (10 x) + (11 x^{2} - 1) (x^{2} - 13) = 0$

Etapa 1.2.2.7.2

Fatore $x^{2} - 13$ de $(11 x^{2} - 1) (x^{2} - 13)$ .

$(x^{2} - 13) (10 x) + (x^{2} - 13) (11 x^{2} - 1) = 0$

Etapa 1.2.2.7.3

Fatore $x^{2} - 13$ de $(x^{2} - 13) (10 x) + (x^{2} - 13) (11 x^{2} - 1)$ .

$(x^{2} - 13) (10 x + 11 x^{2} - 1) = 0$

Etapa 1.2.2.8

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$(x^{2} - 13) (10 u + 11 u^{2} - 1) = 0$

Etapa 1.2.2.9

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.9.1

Reordene os termos.

$(x^{2} - 13) (11 u^{2} + 10 u - 1) = 0$

Etapa 1.2.2.9.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 11 \cdot - 1 = - 11$ e cuja soma é $b = 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.9.2.1

Fatore $10$ de $10 u$ .

$(x^{2} - 13) (11 u^{2} + 10 (u) - 1) = 0$

Etapa 1.2.2.9.2.2

Reescreva $10$ como $- 1$ mais $11$

$(x^{2} - 13) (11 u^{2} + (- 1 + 11) u - 1) = 0$

Etapa 1.2.2.9.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{2} - 13) (11 u^{2} - 1 u + 11 u - 1) = 0$

Etapa 1.2.2.9.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.9.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x^{2} - 13) ((11 u^{2} - 1 u) + 11 u - 1) = 0$

Etapa 1.2.2.9.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x^{2} - 13) (u (11 u - 1) + 1 (11 u - 1)) = 0$

Etapa 1.2.2.9.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $11 u - 1$ .

$(x^{2} - 13) ((11 u - 1) (u + 1)) = 0$

Etapa 1.2.2.10

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.10.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$(x^{2} - 13) ((11 x - 1) (x + 1)) = 0$

Etapa 1.2.2.10.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x^{2} - 13) (11 x - 1) (x + 1) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} - 13 = 0$

$11 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x^{2} - 13$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Defina $x^{2} - 13$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 13 = 0$

Etapa 1.2.4.2

Resolva $x^{2} - 13 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Some $13$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 13$

Etapa 1.2.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{13}$

Etapa 1.2.4.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{13}$

Etapa 1.2.4.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{13}$

Etapa 1.2.4.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{13}, - \sqrt{13}$

Etapa 1.2.5

Defina $11 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $11 x - 1$ como igual a $0$ .

$11 x - 1 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Resolva $11 x - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$11 x = 1$

Etapa 1.2.5.2.2

Divida cada termo em $11 x = 1$ por $11$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.1

Divida cada termo em $11 x = 1$ por $11$ .

$\frac{11 x}{11} = \frac{1}{11}$

Etapa 1.2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $11$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{11 x}{11} = \frac{1}{11}$

Etapa 1.2.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{11}$

Etapa 1.2.6

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 1.2.6.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 1.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $(x^{2} - 13) (11 x - 1) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \sqrt{13}, - \sqrt{13}, \frac{1}{11}, - 1$

Etapa 1.3

intersecções com o eixo x na forma do ponto.

intersecções com o eixo x: $(\sqrt{13}, 0), (- \sqrt{13}, 0), (\frac{1}{11}, 0), (- 1, 0)$

Etapa 2

Encontre as intersecções com o eixo y.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para encontrar as intersecções com o eixo y, substitua $0$ por $x$ e resolva $y$ .

$y = 11 {(0)}^{4} + 10 {(0)}^{3} - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Etapa 2.2

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Remova os parênteses.

$y = 11 \cdot 0^{4} + 10 {(0)}^{3} - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Etapa 2.2.2

Remova os parênteses.

$y = 11 \cdot 0^{4} + 10 \cdot 0^{3} - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Etapa 2.2.3

Remova os parênteses.

$y = 11 \cdot 0^{4} + 10 \cdot 0^{3} - 144 \cdot 0^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Etapa 2.2.4

Remova os parênteses.

$y = 11 {(0)}^{4} + 10 {(0)}^{3} - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Etapa 2.2.5

Simplifique $11 {(0)}^{4} + 10 {(0)}^{3} - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 11 \cdot 0 + 10 {(0)}^{3} - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Etapa 2.2.5.1.2

Multiplique $11$ por $0$ .

$y = 0 + 10 {(0)}^{3} - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Etapa 2.2.5.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0 + 10 \cdot 0 - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Etapa 2.2.5.1.4

Multiplique $10$ por $0$ .

$y = 0 + 0 - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Etapa 2.2.5.1.5

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0 + 0 - 144 \cdot 0 - 130 \cdot 0 + 13$

Etapa 2.2.5.1.6

Multiplique $- 144$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 130 \cdot 0 + 13$

Etapa 2.2.5.1.7

Multiplique $- 130$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 0 + 13$

Etapa 2.2.5.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.1

Some $0$ e $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 13$

Etapa 2.2.5.2.2

Some $0$ e $0$ .

$y = 0 + 0 + 13$

Etapa 2.2.5.2.3

Some $0$ e $0$ .

$y = 0 + 13$

Etapa 2.2.5.2.4

Some $0$ e $13$ .

$y = 13$

Etapa 2.3

intersecções com o eixo y na forma do ponto.

intersecções com o eixo y: $(0, 13)$

Etapa 3

Liste as intersecções.

intersecções com o eixo x: $(\sqrt{13}, 0), (- \sqrt{13}, 0), (\frac{1}{11}, 0), (- 1, 0)$

intersecções com o eixo y: $(0, 13)$

Etapa 4