Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} + 10 x^{2} - 13 x - 22$

Etapa 1

Encontre as intersecções com o eixo x.

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Etapa 1.1

Para encontrar as intersecções com o eixo x, substitua $0$ por $y$ e resolva $x$ .

$0 = x^{3} + 10 x^{2} - 13 x - 22$

Etapa 1.2

Resolva a equação.

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Etapa 1.2.1

Reescreva a equação como $x^{3} + 10 x^{2} - 13 x - 22 = 0$ .

$x^{3} + 10 x^{2} - 13 x - 22 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.2.1

Fatore $x^{3} + 10 x^{2} - 13 x - 22$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 1.2.2.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 22, \pm 2, \pm 11$

$q = \pm 1$

Etapa 1.2.2.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 22, \pm 2, \pm 11$

Etapa 1.2.2.1.3

Substitua $- 1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 1.2.2.1.3.1

Substitua $- 1$ no polinômio.

${(- 1)}^{3} + 10 {(- 1)}^{2} - 13 \cdot - 1 - 22$

Etapa 1.2.2.1.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- 1 + 10 {(- 1)}^{2} - 13 \cdot - 1 - 22$

Etapa 1.2.2.1.3.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 1 + 10 \cdot 1 - 13 \cdot - 1 - 22$

Etapa 1.2.2.1.3.4

Multiplique $10$ por $1$ .

$- 1 + 10 - 13 \cdot - 1 - 22$

Etapa 1.2.2.1.3.5

Some $- 1$ e $10$ .

$9 - 13 \cdot - 1 - 22$

Etapa 1.2.2.1.3.6

Multiplique $- 13$ por $- 1$ .

$9 + 13 - 22$

Etapa 1.2.2.1.3.7

Some $9$ e $13$ .

$22 - 22$

Etapa 1.2.2.1.3.8

Subtraia $22$ de $22$ .

$0$

Etapa 1.2.2.1.4

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} + 10 x^{2} - 13 x - 22}{x + 1}$

Etapa 1.2.2.1.5

Divida $x^{3} + 10 x^{2} - 13 x - 22$ por $x + 1$ .

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Etapa 1.2.2.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$13 x$

$22$

Etapa 1.2.2.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$

Etapa 1.2.2.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 1.2.2.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 1.2.2.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$

Etapa 1.2.2.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$

Etapa 1.2.2.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $9 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$

Etapa 1.2.2.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$

Etapa 1.2.2.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $9 x^{2} + 9 x$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$9 x$

Etapa 1.2.2.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$22 x$

Etapa 1.2.2.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$22 x$	-	$22$

Etapa 1.2.2.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 22 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$	-	$22$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$22 x$	-	$22$

Etapa 1.2.2.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$9 x$	-	$22$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$22 x$	-	$22$
							-	$22 x$	-	$22$

Etapa 1.2.2.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 22 x - 22$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$	-	$22$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$22 x$	-	$22$
							+	$22 x$	+	$22$

Etapa 1.2.2.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$9 x$	-	$22$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$10 x^{2}$	-	$13 x$	-	$22$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$13 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							-	$22 x$	-	$22$
							+	$22 x$	+	$22$
										$0$

Etapa 1.2.2.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} + 9 x - 22$

Etapa 1.2.2.1.6

Escreva $x^{3} + 10 x^{2} - 13 x - 22$ como um conjunto de fatores.

$(x + 1) (x^{2} + 9 x - 22) = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $x^{2} + 9 x - 22$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.2.2.1

Fatore $x^{2} + 9 x - 22$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 22$ e cuja soma é $9$ .

$- 2, 11$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x + 1) ((x - 2) (x + 11)) = 0$

Etapa 1.2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 1) (x - 2) (x + 11) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 11 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.4.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 1.2.4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 1.2.5

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.5.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 1.2.6

Defina $x + 11$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.6.1

Defina $x + 11$ como igual a $0$ .

$x + 11 = 0$

Etapa 1.2.6.2

Subtraia $11$ dos dois lados da equação.

$x = - 11$

Etapa 1.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 1) (x - 2) (x + 11) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, 2, - 11$

Etapa 1.3

intersecções com o eixo x na forma do ponto.

intersecções com o eixo x: $(- 1, 0), (2, 0), (- 11, 0)$

Etapa 2

Encontre as intersecções com o eixo y.

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Etapa 2.1

Para encontrar as intersecções com o eixo y, substitua $0$ por $x$ e resolva $y$ .

$y = {(0)}^{3} + 10 {(0)}^{2} - 13 \cdot 0 - 22$

Etapa 2.2

Resolva a equação.

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Etapa 2.2.1

Remova os parênteses.

$y = 0^{3} + 10 {(0)}^{2} - 13 \cdot 0 - 22$

Etapa 2.2.2

Remova os parênteses.

$y = 0^{3} + 10 \cdot 0^{2} - 13 \cdot 0 - 22$

Etapa 2.2.3

Remova os parênteses.

$y = {(0)}^{3} + 10 {(0)}^{2} - 13 \cdot 0 - 22$

Etapa 2.2.4

Simplifique ${(0)}^{3} + 10 {(0)}^{2} - 13 \cdot 0 - 22$ .

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Etapa 2.2.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.4.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0 + 10 {(0)}^{2} - 13 \cdot 0 - 22$

Etapa 2.2.4.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0 + 10 \cdot 0 - 13 \cdot 0 - 22$

Etapa 2.2.4.1.3

Multiplique $10$ por $0$ .

$y = 0 + 0 - 13 \cdot 0 - 22$

Etapa 2.2.4.1.4

Multiplique $- 13$ por $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 22$

Etapa 2.2.4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 2.2.4.2.1

Some $0$ e $0$ .

$y = 0 + 0 - 22$

Etapa 2.2.4.2.2

Some $0$ e $0$ .

$y = 0 - 22$

Etapa 2.2.4.2.3

Subtraia $22$ de $0$ .

$y = - 22$

Etapa 2.3

intersecções com o eixo y na forma do ponto.

intersecções com o eixo y: $(0, - 22)$

Etapa 3

Liste as intersecções.

intersecções com o eixo x: $(- 1, 0), (2, 0), (- 11, 0)$

intersecções com o eixo y: $(0, - 22)$

Etapa 4