Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} + 13 x^{2} - 48$

Etapa 1

Encontre as intersecções com o eixo x.

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Etapa 1.1

Para encontrar as intersecções com o eixo x, substitua $0$ por $y$ e resolva $x$ .

$0 = x^{4} + 13 x^{2} - 48$

Etapa 1.2

Resolva a equação.

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Etapa 1.2.1

Reescreva a equação como $x^{4} + 13 x^{2} - 48 = 0$ .

$x^{4} + 13 x^{2} - 48 = 0$

Etapa 1.2.2

Substitua $u = x^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$u^{2} + 13 u - 48 = 0$

$u = x^{2}$

Etapa 1.2.3

Fatore $u^{2} + 13 u - 48$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 48$ e cuja soma é $13$ .

$- 3, 16$

Etapa 1.2.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 3) (u + 16) = 0$

Etapa 1.2.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

$u + 16 = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $u - 3$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 1.2.5.1

Defina $u - 3$ como igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$u = 3$

Etapa 1.2.6

Defina $u + 16$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 1.2.6.1

Defina $u + 16$ como igual a $0$ .

$u + 16 = 0$

Etapa 1.2.6.2

Subtraia $16$ dos dois lados da equação.

$u = - 16$

Etapa 1.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $(u - 3) (u + 16) = 0$ verdadeiro.

$u = 3, - 16$

Etapa 1.2.8

Substitua o valor real de $u = x^{2}$ de volta na equação resolvida.

$x^{2} = 3$

${(x^{2})}^{1} = - 16$

Etapa 1.2.9

Resolva a primeira equação para $x$ .

$x^{2} = 3$

Etapa 1.2.10

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 1.2.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Etapa 1.2.10.2

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.2.10.2.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{3}$

Etapa 1.2.10.2.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{3}$

Etapa 1.2.10.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 1.2.11

Resolva a segunda equação para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 16$

Etapa 1.2.12

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 1.2.12.1

Remova os parênteses.

$x^{2} = - 16$

Etapa 1.2.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 16}$

Etapa 1.2.12.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 16}$ .

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Etapa 1.2.12.3.1

Reescreva $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (16)}$

Etapa 1.2.12.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (16)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$

Etapa 1.2.12.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{16}$

Etapa 1.2.12.3.4

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}$

Etapa 1.2.12.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 4$

Etapa 1.2.12.3.6

Mova $4$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 4 i$

Etapa 1.2.12.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.2.12.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 4 i$

Etapa 1.2.12.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 4 i$

Etapa 1.2.12.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 4 i, - 4 i$

Etapa 1.2.13

A solução para $x^{4} + 13 x^{2} - 48 = 0$ é $x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 4 i, - 4 i$ .

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 4 i, - 4 i$

Etapa 1.3

intersecções com o eixo x na forma do ponto.

intersecções com o eixo x: $(\sqrt{3}, 0), (- \sqrt{3}, 0)$

Etapa 2

Encontre as intersecções com o eixo y.

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Etapa 2.1

Para encontrar as intersecções com o eixo y, substitua $0$ por $x$ e resolva $y$ .

$y = {(0)}^{4} + 13 {(0)}^{2} - 48$

Etapa 2.2

Resolva a equação.

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Etapa 2.2.1

Remova os parênteses.

$y = 0^{4} + 13 {(0)}^{2} - 48$

Etapa 2.2.2

Remova os parênteses.

$y = 0^{4} + 13 \cdot 0^{2} - 48$

Etapa 2.2.3

Remova os parênteses.

$y = {(0)}^{4} + 13 {(0)}^{2} - 48$

Etapa 2.2.4

Simplifique ${(0)}^{4} + 13 {(0)}^{2} - 48$ .

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Etapa 2.2.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.4.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0 + 13 {(0)}^{2} - 48$

Etapa 2.2.4.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0 + 13 \cdot 0 - 48$

Etapa 2.2.4.1.3

Multiplique $13$ por $0$ .

$y = 0 + 0 - 48$

Etapa 2.2.4.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 2.2.4.2.1

Some $0$ e $0$ .

$y = 0 - 48$

Etapa 2.2.4.2.2

Subtraia $48$ de $0$ .

$y = - 48$

Etapa 2.3

intersecções com o eixo y na forma do ponto.

intersecções com o eixo y: $(0, - 48)$

Etapa 3

Liste as intersecções.

intersecções com o eixo x: $(\sqrt{3}, 0), (- \sqrt{3}, 0)$

intersecções com o eixo y: $(0, - 48)$

Etapa 4