Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{x^{3} + 8 x^{2} + 19 x + 12}$

Etapa 1

Defina o radicando em $\sqrt{x^{3} + 8 x^{2} + 19 x + 12}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x^{3} + 8 x^{2} + 19 x + 12 \geq 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{3} + 8 x^{2} + 19 x + 12 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

Fatore $x^{3} + 8 x^{2} + 19 x + 12$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.2.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Etapa 2.2.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Etapa 2.2.1.3

Substitua $- 1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.2.1.3.1

Substitua $- 1$ no polinômio.

${(- 1)}^{3} + 8 {(- 1)}^{2} + 19 \cdot - 1 + 12$

Etapa 2.2.1.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- 1 + 8 {(- 1)}^{2} + 19 \cdot - 1 + 12$

Etapa 2.2.1.3.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 1 + 8 \cdot 1 + 19 \cdot - 1 + 12$

Etapa 2.2.1.3.4

Multiplique $8$ por $1$ .

$- 1 + 8 + 19 \cdot - 1 + 12$

Etapa 2.2.1.3.5

Some $- 1$ e $8$ .

$7 + 19 \cdot - 1 + 12$

Etapa 2.2.1.3.6

Multiplique $19$ por $- 1$ .

$7 - 19 + 12$

Etapa 2.2.1.3.7

Subtraia $19$ de $7$ .

$- 12 + 12$

Etapa 2.2.1.3.8

Some $- 12$ e $12$ .

$0$

Etapa 2.2.1.4

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 19 x + 12}{x + 1}$

Etapa 2.2.1.5

Divida $x^{3} + 8 x^{2} + 19 x + 12$ por $x + 1$ .

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Etapa 2.2.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$19 x$

$12$

Etapa 2.2.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$

Etapa 2.2.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 2.2.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 2.2.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$

Etapa 2.2.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$

Etapa 2.2.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $7 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$

Etapa 2.2.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$
					+	$7 x^{2}$	+	$7 x$

Etapa 2.2.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $7 x^{2} + 7 x$ .

				$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$

Etapa 2.2.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$12 x$

Etapa 2.2.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$12 x$	+	$12$

Etapa 2.2.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $12 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$12$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$12 x$	+	$12$

Etapa 2.2.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$12$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$12 x$	+	$12$
							+	$12 x$	+	$12$

Etapa 2.2.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $12 x + 12$ .

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$12$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$12 x$	+	$12$
							-	$12 x$	-	$12$

Etapa 2.2.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$12$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$12 x$	+	$12$
							-	$12 x$	-	$12$
										$0$

Etapa 2.2.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} + 7 x + 12$

Etapa 2.2.1.6

Escreva $x^{3} + 8 x^{2} + 19 x + 12$ como um conjunto de fatores.

$(x + 1) (x^{2} + 7 x + 12) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $x^{2} + 7 x + 12$ usando o método AC.

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Etapa 2.2.2.1

Fatore $x^{2} + 7 x + 12$ usando o método AC.

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Etapa 2.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $12$ e cuja soma é $7$ .

$3, 4$

Etapa 2.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x + 1) ((x + 3) (x + 4)) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 1) (x + 3) (x + 4) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 2.4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 2.5

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 2.5.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 2.6

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.6.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 2.6.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 2.7

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 1) (x + 3) (x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, - 3, - 4$

Etapa 2.8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 3$

$- 3 < x < - 1$

$x > - 1$

Etapa 2.9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 2.9.1

Teste um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 2.9.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

${(- 6)}^{3} + 8 {(- 6)}^{2} + 19 (- 6) + 12 \geq 0$

Etapa 2.9.1.3

O lado esquerdo $- 30$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 2.9.2

Teste um valor no intervalo $- 4 < x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.9.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 4 < x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 3.5$

Etapa 2.9.2.2

Substitua $x$ por $- 3.5$ na desigualdade original.

${(- 3.5)}^{3} + 8 {(- 3.5)}^{2} + 19 (- 3.5) + 12 \geq 0$

Etapa 2.9.2.3

O lado esquerdo $0.625$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 2.9.3

Teste um valor no intervalo $- 3 < x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.9.3.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 2.9.3.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

${(- 2)}^{3} + 8 {(- 2)}^{2} + 19 (- 2) + 12 \geq 0$

Etapa 2.9.3.3

O lado esquerdo $- 2$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 2.9.4

Teste um valor no intervalo $x > - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.9.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 2.9.4.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

${(0)}^{3} + 8 {(0)}^{2} + 19 (0) + 12 \geq 0$

Etapa 2.9.4.3

O lado esquerdo $12$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 2.9.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < - 1$ Falso

$x > - 1$ Verdadeiro

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < - 1$ Falso

$x > - 1$ Verdadeiro

Etapa 2.10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 4 \leq x \leq - 3$ ou $x \geq - 1$

Etapa 3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[- 4, - 3] \cup [- 1, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - 4 \leq x \leq - 3, x \geq - 1}$

Etapa 4