Pré-cálculo Exemplos

$y = \log_{3} (3 x)$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \log_{3} (3 y)$

Etapa 2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\log_{3} (3 y) = x$ .

$\log_{3} (3 y) = x$

Etapa 2.2

Reescreva $\log_{3} (3 y) = x$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{x} = 3 y$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Reescreva a equação como $3 y = 3^{x}$ .

$3 y = 3^{x}$

Etapa 2.3.2

Divida cada termo em $3 y = 3^{x}$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 2.3.2.1

Divida cada termo em $3 y = 3^{x}$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{3^{x}}{3}$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y}{3} = \frac{3^{x}}{3}$

Etapa 2.3.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{3^{x}}{3}$

Etapa 2.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.3.1

Cancele o fator comum de $3^{x}$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.3.1.1

Fatore $3$ de $3^{x}$ .

$y = \frac{3 \cdot 3^{x - 1}}{3}$

Etapa 2.3.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.2.3.1.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$y = \frac{3 \cdot 3^{x - 1}}{3 (1)}$

Etapa 2.3.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{3 \cdot 3^{x - 1}}{3 \cdot 1}$

Etapa 2.3.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{3^{x - 1}}{1}$

Etapa 2.3.2.3.1.2.4

Divida $3^{x - 1}$ por $1$ .

$y = 3^{x - 1}$

Etapa 3

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = 3^{x - 1}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = 3^{x - 1}$ é o inverso de $f (x) = \log_{3} (3 x)$ .

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Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (\log_{3} (3 x))$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{3} (3 x)) = 3^{(\log_{3} (3 x)) - 1}$

Etapa 4.2.3

Remova os parênteses.

$f^{- 1} (\log_{3} (3 x)) = 3^{\log_{3} (3 x) - 1}$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (3^{x - 1})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (3^{x - 1}) = \log_{3} (3 (3^{x - 1}))$

Etapa 4.3.3

Reescreva $\log_{3} (3 (3^{x - 1}))$ como $\log_{3} (3) + \log_{3} (3^{x - 1})$ .

$f (3^{x - 1}) = \log_{3} (3) + \log_{3} (3^{x - 1})$

Etapa 4.3.4

Use as regras logarítmicas para mover $x - 1$ para fora do expoente.

$f (3^{x - 1}) = \log_{3} (3) + (x - 1) \log_{3} (3)$

Etapa 4.3.5

A base do logaritmo $3$ de $3$ é $1$ .

$f (3^{x - 1}) = \log_{3} (3) + (x - 1) \cdot 1$

Etapa 4.3.6

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$f (3^{x - 1}) = \log_{3} (3) + x - 1$

Etapa 4.3.7

A base do logaritmo $3$ de $3$ é $1$ .

$f (3^{x - 1}) = 1 + x - 1$

Etapa 4.3.8

Combine os termos opostos em $1 + x - 1$ .

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Etapa 4.3.8.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (3^{x - 1}) = x + 0$

Etapa 4.3.8.2

Some $x$ e $0$ .

$f (3^{x - 1}) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = 3^{x - 1}$ é o inverso de $f (x) = \log_{3} (3 x)$ .

$f^{- 1} (x) = 3^{x - 1}$