Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{(2 x^{2} - 2) (x + 3)}{(x^{2} - 6 x + 8) (x + 3)}$

Etapa 1

Defina o denominador em $\frac{(2 x^{2} - 2) (x + 3)}{(x^{2} - 6 x + 8) (x + 3)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$(x^{2} - 6 x + 8) (x + 3) = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} - 6 x + 8 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 2.2

Defina $x^{2} - 6 x + 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.2.1

Defina $x^{2} - 6 x + 8$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 6 x + 8 = 0$

Etapa 2.2.2

Resolva $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.2.2.1

Fatore $x^{2} - 6 x + 8$ usando o método AC.

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Etapa 2.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $8$ e cuja soma é $- 6$ .

$- 4, - 2$

Etapa 2.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 4) (x - 2) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 2.2.2.3

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.2.2.3.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 2.2.2.3.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 2.2.2.4

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.2.2.4.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 2.2.2.4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.2.2.5

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 4) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 4, 2$

Etapa 2.3

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 2.3.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 2.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x^{2} - 6 x + 8) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 4, 2, - 3$

Etapa 3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 2, - 3, 4}$

Etapa 4

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 7 - 3 \sqrt{5}] \cup [- 7 + 3 \sqrt{5}, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${y | y \leq - 7 - 3 \sqrt{5}, y \geq - 7 + 3 \sqrt{5}}$

Etapa 5

Determine o domínio e o intervalo.

Domínio: $(- \infty, - 3) \cup (- 3, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty), {x | x \neq 2, - 3, 4}$

Intervalo: $(- \infty, - 7 - 3 \sqrt{5}] \cup [- 7 + 3 \sqrt{5}, \infty), {y | y \leq - 7 - 3 \sqrt{5}, y \geq - 7 + 3 \sqrt{5}}$

Etapa 6