Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{5 x}{\sqrt[3]{x^{3} + 8}}$

Etapa 1

Defina o denominador em $\frac{5 x}{\sqrt[3]{x^{3} + 8}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt[3]{x^{3} + 8} = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${\sqrt[3]{x^{3} + 8}}^{3} = 0^{3}$

Etapa 2.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x^{3} + 8}$ como ${(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.2.1

Simplifique ${({(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 2.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 2.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 2.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(x^{3} + 8)}^{1} = 0^{3}$

Etapa 2.2.2.1.2

Simplifique.

$x^{3} + 8 = 0^{3}$

Etapa 2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x^{3} + 8 = 0$

Etapa 2.3

Resolva $x$ .

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Etapa 2.3.1

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$x^{3} = - 8$

Etapa 2.3.2

Some $8$ aos dois lados da equação.

$x^{3} + 8 = 0$

Etapa 2.3.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.3.3.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$x^{3} + 2^{3} = 0$

Etapa 2.3.3.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$(x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Etapa 2.3.3.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.3.3.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}) = 0$

Etapa 2.3.3.3.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$

Etapa 2.3.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Etapa 2.3.5

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 2.3.5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 2.3.6

Defina $x^{2} - 2 x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.6.1

Defina $x^{2} - 2 x + 4$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Etapa 2.3.6.2

Resolva $x^{2} - 2 x + 4 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.3.6.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.3.6.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = 4$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.6.2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.2.3.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.6.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.6.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.6.2.3.1.3

Subtraia $16$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.6.2.3.1.4

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.6.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.6.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.6.2.3.1.7

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.2.3.1.7.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.6.2.3.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.6.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.6.2.3.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.6.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.3.6.2.3.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Etapa 2.3.6.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 2.3.6.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.2.4.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.6.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.6.2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.6.2.4.1.3

Subtraia $16$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.6.2.4.1.4

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.6.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.6.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.6.2.4.1.7

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.2.4.1.7.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.6.2.4.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.6.2.4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.6.2.4.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.6.2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.3.6.2.4.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Etapa 2.3.6.2.4.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = 1 + i \sqrt{3}$

Etapa 2.3.6.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.2.5.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.6.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.6.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.6.2.5.1.3

Subtraia $16$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.6.2.5.1.4

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.6.2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.6.2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.6.2.5.1.7

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.2.5.1.7.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.6.2.5.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.6.2.5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.6.2.5.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.6.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.3.6.2.5.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Etapa 2.3.6.2.5.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = 1 - i \sqrt{3}$

Etapa 2.3.6.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Etapa 2.3.7

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Etapa 3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq - 2}$

Etapa 4

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${y | y \neq 5}$

Etapa 5

Determine o domínio e o intervalo.

Domínio: $(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty), {x | x \neq - 2}$

Intervalo: $(- \infty, 5) \cup (5, \infty), {y | y \neq 5}$

Etapa 6