Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{3} - 1}{2}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{x^{3} - 1}{2}$ como uma equação.

$y = \frac{x^{3} - 1}{2}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{y^{3} - 1}{2}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{y^{3} - 1}{2} = x$ .

$\frac{y^{3} - 1}{2} = x$

Etapa 3.2

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{y^{3} - 1}{2} = 2 x$

Etapa 3.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y^{3} - 1}{2} = 2 x$

Etapa 3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y^{3} - 1 = 2 x$

Etapa 3.4

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y^{3} = 2 x + 1$

Etapa 3.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{2 x + 1}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x + 1}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x + 1}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x^{3} - 1}{2}$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3} - 1}{2}) + 1}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.3.1

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3} - 1^{3}}{2}) + 1}$

Etapa 5.2.3.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}{2}) + 1}$

Etapa 5.2.3.3

Simplifique.

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Etapa 5.2.3.3.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}{2}) + 1}$

Etapa 5.2.3.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{2}) + 1}$

Etapa 5.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{2}) + 1}$

Etapa 5.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 1}$

Etapa 5.2.5

Expanda $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1 + 1}$

Etapa 5.2.6

Simplifique os termos.

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Etapa 5.2.6.1

Combine os termos opostos em $x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1$ .

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Etapa 5.2.6.1.1

Reorganize os fatores nos termos $x \cdot 1$ e $- 1 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1 + 1}$

Etapa 5.2.6.1.2

Subtraia $1 x$ de $1 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} + 0 - 1 \cdot 1 + 1}$

Etapa 5.2.6.1.3

Some $x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2}$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

Etapa 5.2.6.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.6.2.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.6.2.1.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 5.2.6.2.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

Etapa 5.2.6.2.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{1 + 2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

Etapa 5.2.6.2.1.2

Some $1$ e $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

Etapa 5.2.6.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

Etapa 5.2.6.2.3

Reescreva $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

Etapa 5.2.6.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1 + 1}$

Etapa 5.2.6.3

Simplifique somando os termos.

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Etapa 5.2.6.3.1

Combine os termos opostos em $x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1$ .

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Etapa 5.2.6.3.1.1

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0 - 1 + 1}$

Etapa 5.2.6.3.1.2

Some $x^{3}$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} - 1 + 1}$

Etapa 5.2.6.3.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 5.2.6.3.2.1

Some $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Etapa 5.2.6.3.2.2

Some $x^{3}$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Etapa 5.2.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\sqrt[3]{2 x + 1})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x + 1})}^{3} - 1}{2}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.3.1

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{{\sqrt[3]{2 x + 1}}^{3} - 1^{3}}{2}$

Etapa 5.3.3.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = \sqrt[3]{2 x + 1}$ e $b = 1$ .

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{(\sqrt[3]{2 x + 1} - 1) ({\sqrt[3]{2 x + 1}}^{2} + \sqrt[3]{2 x + 1} \cdot 1 + 1^{2})}{2}$

Etapa 5.3.3.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.3.3.1

Reescreva ${\sqrt[3]{2 x + 1}}^{2}$ como $\sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{2}}$ .

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{(\sqrt[3]{2 x + 1} - 1) (\sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{2}} + \sqrt[3]{2 x + 1} \cdot 1 + 1^{2})}{2}$

Etapa 5.3.3.3.2

Multiplique $\sqrt[3]{2 x + 1}$ por $1$ .

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{(\sqrt[3]{2 x + 1} - 1) (\sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{2}} + \sqrt[3]{2 x + 1} + 1^{2})}{2}$

Etapa 5.3.3.3.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{(\sqrt[3]{2 x + 1} - 1) (\sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{2}} + \sqrt[3]{2 x + 1} + 1)}{2}$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x + 1}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x^{3} - 1}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x + 1}$