Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{\sqrt{x + 7}}{4}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{\sqrt{x + 7}}{4}$ como uma equação.

$y = \frac{\sqrt{x + 7}}{4}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{\sqrt{y + 7}}{4}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{\sqrt{y + 7}}{4} = x$ .

$\frac{\sqrt{y + 7}}{4} = x$

Etapa 3.2

Multiplique os dois lados da equação por $4$ .

$4 \frac{\sqrt{y + 7}}{4} = 4 x$

Etapa 3.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$4 \frac{\sqrt{y + 7}}{4} = 4 x$

Etapa 3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{y + 7} = 4 x$

Etapa 3.4

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{y + 7}}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Etapa 3.5

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y + 7}$ como ${(y + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.2.1

Simplifique ${({(y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x)}^{2}$

Etapa 3.5.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.5.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(y + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x)}^{2}$

Etapa 3.5.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(y + 7)}^{1} = {(4 x)}^{2}$

Etapa 3.5.2.1.2

Simplifique.

$y + 7 = {(4 x)}^{2}$

Etapa 3.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.3.1

Simplifique ${(4 x)}^{2}$ .

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Etapa 3.5.3.1.1

Aplique a regra do produto a $4 x$ .

$y + 7 = 4^{2} x^{2}$

Etapa 3.5.3.1.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$y + 7 = 16 x^{2}$

Etapa 3.6

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$y = 16 x^{2} - 7$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 16 x^{2} - 7$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = 16 x^{2} - 7$ é o inverso de $f (x) = \frac{\sqrt{x + 7}}{4}$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 {(\frac{\sqrt{x + 7}}{4})}^{2} - 7$

Etapa 5.2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{x + 7}}{4}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{{\sqrt{x + 7}}^{2}}{4^{2}}) - 7$

Etapa 5.2.3.2

Reescreva ${\sqrt{x + 7}}^{2}$ como $x + 7$ .

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Etapa 5.2.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 7}$ como ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{{({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}}) - 7$

Etapa 5.2.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}}) - 7$

Etapa 5.2.3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{{(x + 7)}^{\frac{2}{2}}}{4^{2}}) - 7$

Etapa 5.2.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{{(x + 7)}^{\frac{2}{2}}}{4^{2}}) - 7$

Etapa 5.2.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{x + 7}{4^{2}}) - 7$

Etapa 5.2.3.2.5

Simplifique.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{x + 7}{4^{2}}) - 7$

Etapa 5.2.3.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{x + 7}{16}) - 7$

Etapa 5.2.3.4

Cancele o fator comum de $16$ .

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Etapa 5.2.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{x + 7}{16}) - 7$

Etapa 5.2.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = x + 7 - 7$

Etapa 5.2.4

Combine os termos opostos em $x + 7 - 7$ .

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Etapa 5.2.4.1

Subtraia $7$ de $7$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = x + 0$

Etapa 5.2.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (16 x^{2} - 7)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (16 x^{2} - 7) = \frac{\sqrt{(16 x^{2} - 7) + 7}}{4}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.3.1

Some $- 7$ e $7$ .

$f (16 x^{2} - 7) = \frac{\sqrt{16 x^{2} + 0}}{4}$

Etapa 5.3.3.2

Some $16 x^{2}$ e $0$ .

$f (16 x^{2} - 7) = \frac{\sqrt{16 x^{2}}}{4}$

Etapa 5.3.3.3

Reescreva $16 x^{2}$ como ${(4 x)}^{2}$ .

$f (16 x^{2} - 7) = \frac{\sqrt{{(4 x)}^{2}}}{4}$

Etapa 5.3.3.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (16 x^{2} - 7) = \frac{4 x}{4}$

Etapa 5.3.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (16 x^{2} - 7) = \frac{4 x}{4}$

Etapa 5.3.4.2

Divida $x$ por $1$ .

$f (16 x^{2} - 7) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = 16 x^{2} - 7$ é o inverso de $f (x) = \frac{\sqrt{x + 7}}{4}$ .

$f^{- 1} (x) = 16 x^{2} - 7$