Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x + 1}{2 x + 1}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{x + 1}{2 x + 1}$ como uma equação.

$y = \frac{x + 1}{2 x + 1}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{y + 1}{2 y + 1}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{y + 1}{2 y + 1} = x$ .

$\frac{y + 1}{2 y + 1} = x$

Etapa 3.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$2 y + 1, 1$

Etapa 3.2.2

Remova os parênteses.

$2 y + 1, 1$

Etapa 3.2.3

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$2 y + 1$

Etapa 3.3

Multiplique cada termo em $\frac{y + 1}{2 y + 1} = x$ por $2 y + 1$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{y + 1}{2 y + 1} = x$ por $2 y + 1$ .

$\frac{y + 1}{2 y + 1} (2 y + 1) = x (2 y + 1)$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2 y + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y + 1}{2 y + 1} (2 y + 1) = x (2 y + 1)$

Etapa 3.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$y + 1 = x (2 y + 1)$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y + 1 = x (2 y) + x \cdot 1$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y + 1 = 2 x y + x \cdot 1$

Etapa 3.3.3.2.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$y + 1 = 2 x y + x$

Etapa 3.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Subtraia $2 x y$ dos dois lados da equação.

$y + 1 - 2 x y = x$

Etapa 3.4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y - 2 x y = x - 1$

Etapa 3.4.3

Fatore $y$ de $y - 2 x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - 2 x y = x - 1$

Etapa 3.4.3.2

Fatore $y$ de $- 2 x y$ .

$y \cdot 1 + y (- 2 x) = x - 1$

Etapa 3.4.3.3

Fatore $y$ de $y \cdot 1 + y (- 2 x)$ .

$y (1 - 2 x) = x - 1$

Etapa 3.4.4

Divida cada termo em $y (1 - 2 x) = x - 1$ por $1 - 2 x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1

Divida cada termo em $y (1 - 2 x) = x - 1$ por $1 - 2 x$ .

$\frac{y (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x} + \frac{- 1}{1 - 2 x}$

Etapa 3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $1 - 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x} + \frac{- 1}{1 - 2 x}$

Etapa 3.4.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x}{1 - 2 x} + \frac{- 1}{1 - 2 x}$

Etapa 3.4.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{x - 1}{1 - 2 x}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x - 1}{1 - 2 x}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{x - 1}{1 - 2 x}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x + 1}{2 x + 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{(\frac{x + 1}{2 x + 1}) - 1}{1 - 2 \frac{x + 1}{2 x + 1}}$

Etapa 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2 x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Multiplique $\frac{\frac{x + 1}{2 x + 1} - 1}{1 - 2 \frac{x + 1}{2 x + 1}}$ por $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{2 x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{\frac{x + 1}{2 x + 1} - 1}{1 - 2 \frac{x + 1}{2 x + 1}}$

Etapa 5.2.3.2

Combine.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{(2 x + 1) (\frac{x + 1}{2 x + 1} - 1)}{(2 x + 1) (1 - 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Etapa 5.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{(2 x + 1) (\frac{x + 1}{2 x + 1}) + (2 x + 1) \cdot - 1}{(2 x + 1) \cdot 1 + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Etapa 5.2.5

Cancele o fator comum de $2 x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{(2 x + 1) (\frac{x + 1}{2 x + 1}) + (2 x + 1) \cdot - 1}{(2 x + 1) \cdot 1 + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Etapa 5.2.5.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{x + 1 + (2 x + 1) \cdot - 1}{(2 x + 1) \cdot 1 + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Etapa 5.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{x + 1 + 2 x \cdot - 1 + 1 \cdot - 1}{(2 x + 1) \cdot 1 + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Etapa 5.2.6.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{x + 1 - 2 x + 1 \cdot - 1}{(2 x + 1) \cdot 1 + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Etapa 5.2.6.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{x + 1 - 2 x - 1}{(2 x + 1) \cdot 1 + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Etapa 5.2.6.4

Subtraia $2 x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x + 1 - 1}{(2 x + 1) \cdot 1 + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Etapa 5.2.6.5

Subtraia $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x + 0}{(2 x + 1) \cdot 1 + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Etapa 5.2.6.6

Some $- x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) \cdot 1 + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Etapa 5.2.7

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.7.1

Fatore $2 x + 1$ de $(2 x + 1) \cdot 1 + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.7.1.1

Fatore $2 x + 1$ de $(2 x + 1) \cdot 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (1) + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Etapa 5.2.7.1.2

Fatore $2 x + 1$ de $(2 x + 1) (1) + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (1 - 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Etapa 5.2.7.2

Combine $- 2$ e $\frac{x + 1}{2 x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (1 + \frac{- 2 (x + 1)}{2 x + 1})}$

Etapa 5.2.7.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (1 - \frac{(2) (x + 1)}{2 x + 1})}$

Etapa 5.2.7.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (\frac{2 x + 1}{2 x + 1} - \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1})}$

Etapa 5.2.7.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (\frac{2 x + 1 - 2 (x + 1)}{2 x + 1})}$

Etapa 5.2.7.6

Reescreva $\frac{2 x + 1 - 2 (x + 1)}{2 x + 1}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.7.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (\frac{2 x + 1 - 2 x - 2 \cdot 1}{2 x + 1})}$

Etapa 5.2.7.6.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (\frac{2 x + 1 - 2 x - 2}{2 x + 1})}$

Etapa 5.2.7.6.3

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (\frac{0 + 1 - 2}{2 x + 1})}$

Etapa 5.2.7.6.4

Some $0$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (\frac{1 - 2}{2 x + 1})}$

Etapa 5.2.7.6.5

Subtraia $2$ de $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (\frac{- 1}{2 x + 1})}$

Etapa 5.2.7.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) \cdot (- 1 \frac{1}{2 x + 1})}$

Etapa 5.2.7.8

Fatore o negativo.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{- (2 x + 1) \frac{1}{2 x + 1}}$

Etapa 5.2.8

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{x}{(2 x + 1) (\frac{1}{2 x + 1})}$

Etapa 5.2.9

Fatore $\frac{1}{2 x + 1}$ de $\frac{x}{(2 x + 1) \frac{1}{2 x + 1}}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = (2 x + 1) (\frac{x}{2 x + 1})$

Etapa 5.2.10

Cancele o fator comum de $2 x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.10.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = (2 x + 1) (\frac{x}{2 x + 1})$

Etapa 5.2.10.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{x - 1}{1 - 2 x})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{(\frac{x - 1}{1 - 2 x}) + 1}{2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) + 1}$

Etapa 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $1 - 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Multiplique $\frac{\frac{x - 1}{1 - 2 x} + 1}{2 \frac{x - 1}{1 - 2 x} + 1}$ por $\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{1 - 2 x}{1 - 2 x} \cdot \frac{\frac{x - 1}{1 - 2 x} + 1}{2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) + 1}$

Etapa 5.3.3.2

Combine.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{(1 - 2 x) (\frac{x - 1}{1 - 2 x} + 1)}{(1 - 2 x) (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) + 1)}$

Etapa 5.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{(1 - 2 x) (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) + (1 - 2 x) \cdot 1}{(1 - 2 x) (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x})) + (1 - 2 x) \cdot 1}$

Etapa 5.3.5

Cancele o fator comum de $1 - 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{(1 - 2 x) (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) + (1 - 2 x) \cdot 1}{(1 - 2 x) (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x})) + (1 - 2 x) \cdot 1}$

Etapa 5.3.5.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{x - 1 + (1 - 2 x) \cdot 1}{(1 - 2 x) (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x})) + (1 - 2 x) \cdot 1}$

Etapa 5.3.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.6.1

Multiplique $1 - 2 x$ por $1$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{x - 1 + 1 - 2 x}{(1 - 2 x) \cdot (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x})) + (1 - 2 x) \cdot 1}$

Etapa 5.3.6.2

Subtraia $2 x$ de $x$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x - 1 + 1}{(1 - 2 x) \cdot (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x})) + (1 - 2 x) \cdot 1}$

Etapa 5.3.6.3

Some $- 1$ e $1$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x + 0}{(1 - 2 x) \cdot (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x})) + (1 - 2 x) \cdot 1}$

Etapa 5.3.6.4

Some $- x$ e $0$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) \cdot (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x})) + (1 - 2 x) \cdot 1}$

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x})) + (1 - 2 x) \cdot 1}$

Etapa 5.3.7

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.1

Fatore $1 - 2 x$ de $(1 - 2 x) \cdot 2 \frac{x - 1}{1 - 2 x} + (1 - 2 x) \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.1.1

Fatore $1 - 2 x$ de $(1 - 2 x) \cdot 1$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x})) + (1 - 2 x) (1)}$

Etapa 5.3.7.1.2

Fatore $1 - 2 x$ de $(1 - 2 x) (2 \frac{x - 1}{1 - 2 x}) + (1 - 2 x) (1)$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) + 1)}$

Etapa 5.3.7.2

Combine $2$ e $\frac{x - 1}{1 - 2 x}$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (\frac{2 (x - 1)}{1 - 2 x} + 1)}$

Etapa 5.3.7.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (\frac{2 (x - 1)}{1 - 2 x} + \frac{1 - 2 x}{1 - 2 x})}$

Etapa 5.3.7.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (\frac{2 (x - 1) + 1 - 2 x}{1 - 2 x})}$

Etapa 5.3.7.5

Reordene os termos.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (\frac{- 2 x + 2 (x - 1) + 1}{- 2 x + 1})}$

Etapa 5.3.7.6

Reescreva $\frac{- 2 x + 2 (x - 1) + 1}{- 2 x + 1}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (\frac{- 2 x + 2 x + 2 \cdot - 1 + 1}{- 2 x + 1})}$

Etapa 5.3.7.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (\frac{- 2 x + 2 x - 2 + 1}{- 2 x + 1})}$

Etapa 5.3.7.6.3

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (\frac{0 - 2 + 1}{- 2 x + 1})}$

Etapa 5.3.7.6.4

Subtraia $2$ de $0$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (\frac{- 2 + 1}{- 2 x + 1})}$

Etapa 5.3.7.6.5

Some $- 2$ e $1$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (\frac{- 1}{- 2 x + 1})}$

Etapa 5.3.7.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) \cdot (- 1 \frac{1}{- 2 x + 1})}$

Etapa 5.3.7.8

Fatore o negativo.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{- (1 - 2 x) \frac{1}{- 2 x + 1}}$

Etapa 5.3.8

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{x}{(1 - 2 x) (\frac{1}{- 2 x + 1})}$

Etapa 5.3.9

Fatore $\frac{1}{- 2 x + 1}$ de $\frac{x}{(1 - 2 x) \frac{1}{- 2 x + 1}}$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = (- 2 x + 1) (\frac{x}{1 - 2 x})$

Etapa 5.3.10

Multiplique $- 2 x + 1$ por $\frac{x}{1 - 2 x}$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{(- 2 x + 1) x}{1 - 2 x}$

Etapa 5.3.11

Cancele o fator comum de $- 2 x + 1$ e $1 - 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.11.1

Reordene os termos.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{(- 2 x + 1) x}{- 2 x + 1}$

Etapa 5.3.11.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{(- 2 x + 1) x}{- 2 x + 1}$

Etapa 5.3.11.3

Divida $x$ por $1$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{x - 1}{1 - 2 x}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x + 1}{2 x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x - 1}{1 - 2 x}$