Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x + 3}{x - 5}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{x + 3}{x - 5}$ como uma equação.

$y = \frac{x + 3}{x - 5}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{y + 3}{y - 5}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique a equação por $y - 5$ .

$(y - 5) (x) = (\frac{y + 3}{y - 5}) (y - 5)$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y x - 5 x = (\frac{y + 3}{y - 5}) (y - 5)$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum de $y - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y x - 5 x = \frac{y + 3}{y - 5} (y - 5)$

Etapa 3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y x - 5 x = y + 3$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$y x - 5 x - y = 3$

Etapa 3.4.2

Some $5 x$ aos dois lados da equação.

$y x - y = 3 + 5 x$

Etapa 3.4.3

Fatore $y$ de $y x - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Fatore $y$ de $y x$ .

$y (x) - y = 3 + 5 x$

Etapa 3.4.3.2

Fatore $y$ de $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = 3 + 5 x$

Etapa 3.4.3.3

Fatore $y$ de $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = 3 + 5 x$

Etapa 3.4.4

Divida cada termo em $y (x - 1) = 3 + 5 x$ por $x - 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1

Divida cada termo em $y (x - 1) = 3 + 5 x$ por $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{3}{x - 1} + \frac{5 x}{x - 1}$

Etapa 3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{3}{x - 1} + \frac{5 x}{x - 1}$

Etapa 3.4.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{3}{x - 1} + \frac{5 x}{x - 1}$

Etapa 3.4.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{3 + 5 x}{x - 1}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 + 5 x}{x - 1}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{3 + 5 x}{x - 1}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x + 3}{x - 5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{3 + 5 (\frac{x + 3}{x - 5})}{(\frac{x + 3}{x - 5}) - 1}$

Etapa 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Multiplique $\frac{3 + 5 \frac{x + 3}{x - 5}}{\frac{x + 3}{x - 5} - 1}$ por $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{x - 5}{x - 5} \cdot \frac{3 + 5 (\frac{x + 3}{x - 5})}{\frac{x + 3}{x - 5} - 1}$

Etapa 5.2.3.2

Combine.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (3 + 5 (\frac{x + 3}{x - 5}))}{(x - 5) (\frac{x + 3}{x - 5} - 1)}$

Etapa 5.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) \cdot 3 + (x - 5) (5 (\frac{x + 3}{x - 5}))}{(x - 5) (\frac{x + 3}{x - 5}) + (x - 5) \cdot - 1}$

Etapa 5.2.5

Cancele o fator comum de $x - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) \cdot 3 + (x - 5) (5 (\frac{x + 3}{x - 5}))}{(x - 5) (\frac{x + 3}{x - 5}) + (x - 5) \cdot - 1}$

Etapa 5.2.5.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) \cdot 3 + (x - 5) (5 (\frac{x + 3}{x - 5}))}{x + 3 + (x - 5) \cdot - 1}$

Etapa 5.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.1

Fatore $x - 5$ de $(x - 5) \cdot 3 + (x - 5) \cdot 5 \frac{x + 3}{x - 5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.1.1

Fatore $x - 5$ de $(x - 5) \cdot 3$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (3) + (x - 5) (5 (\frac{x + 3}{x - 5}))}{x + 3 + (x - 5) \cdot - 1}$

Etapa 5.2.6.1.2

Fatore $x - 5$ de $(x - 5) (3) + (x - 5) (5 \frac{x + 3}{x - 5})$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (3 + 5 (\frac{x + 3}{x - 5}))}{x + 3 + (x - 5) \cdot - 1}$

Etapa 5.2.6.2

Combine $5$ e $\frac{x + 3}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (3 + \frac{5 (x + 3)}{x - 5})}{x + 3 + (x - 5) \cdot - 1}$

Etapa 5.2.6.3

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{3 (x - 5)}{x - 5} + \frac{5 (x + 3)}{x - 5})}{x + 3 + (x - 5) \cdot - 1}$

Etapa 5.2.6.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{3 (x - 5) + 5 (x + 3)}{x - 5})}{x + 3 + (x - 5) \cdot - 1}$

Etapa 5.2.6.5

Reordene os termos.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{5 (x + 3) + 3 (x - 5)}{x - 5})}{x + 3 + (x - 5) \cdot - 1}$

Etapa 5.2.6.6

Reescreva $\frac{5 (x + 3) + 3 (x - 5)}{x - 5}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{5 x + 5 \cdot 3 + 3 (x - 5)}{x - 5})}{x + 3 + (x - 5) \cdot - 1}$

Etapa 5.2.6.6.2

Multiplique $5$ por $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{5 x + 15 + 3 (x - 5)}{x - 5})}{x + 3 + (x - 5) \cdot - 1}$

Etapa 5.2.6.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{5 x + 15 + 3 x + 3 \cdot - 5}{x - 5})}{x + 3 + (x - 5) \cdot - 1}$

Etapa 5.2.6.6.4

Multiplique $3$ por $- 5$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{5 x + 15 + 3 x - 15}{x - 5})}{x + 3 + (x - 5) \cdot - 1}$

Etapa 5.2.6.6.5

Some $5 x$ e $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{8 x + 15 - 15}{x - 5})}{x + 3 + (x - 5) \cdot - 1}$

Etapa 5.2.6.6.6

Subtraia $15$ de $15$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{8 x + 0}{x - 5})}{x + 3 + (x - 5) \cdot - 1}$

Etapa 5.2.6.6.7

Some $8 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{8 x}{x - 5})}{x + 3 + (x - 5) \cdot - 1}$

Etapa 5.2.7

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{8 x}{x - 5})}{x + 3 + x \cdot - 1 - 5 \cdot - 1}$

Etapa 5.2.7.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{8 x}{x - 5})}{x + 3 - 1 \cdot x - 5 \cdot - 1}$

Etapa 5.2.7.3

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{8 x}{x - 5})}{x + 3 - 1 \cdot x + 5}$

Etapa 5.2.7.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{8 x}{x - 5})}{x + 3 - x + 5}$

Etapa 5.2.7.5

Subtraia $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{8 x}{x - 5})}{0 + 3 + 5}$

Etapa 5.2.7.6

Some $0$ e $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{8 x}{x - 5})}{3 + 5}$

Etapa 5.2.7.7

Some $3$ e $5$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{8 x}{x - 5})}{8}$

Etapa 5.2.8

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.8.1

Fatore $\frac{8 x}{x - 5}$ de $\frac{(x - 5) \frac{8 x}{x - 5}}{8}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{8 x}{x - 5} \cdot \frac{x - 5}{8}$

Etapa 5.2.8.2

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.8.2.1

Fatore $8$ de $8 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{8 (x)}{x - 5} \cdot \frac{x - 5}{8}$

Etapa 5.2.8.2.2

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{8 x}{x - 5} \cdot \frac{x - 5}{8}$

Etapa 5.2.8.2.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{x}{x - 5} \cdot (x - 5)$

Etapa 5.2.8.3

Cancele o fator comum de $x - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.8.3.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{x}{x - 5} \cdot (x - 5)$

Etapa 5.2.8.3.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{3 + 5 x}{x - 1})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{(\frac{3 + 5 x}{x - 1}) + 3}{(\frac{3 + 5 x}{x - 1}) - 5}$

Etapa 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Multiplique $\frac{\frac{3 + 5 x}{x - 1} + 3}{\frac{3 + 5 x}{x - 1} - 5}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{3 + 5 x}{x - 1} + 3}{\frac{3 + 5 x}{x - 1} - 5}$

Etapa 5.3.3.2

Combine.

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{3 + 5 x}{x - 1} + 3)}{(x - 1) (\frac{3 + 5 x}{x - 1} - 5)}$

Etapa 5.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 3}{(x - 1) (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 5}$

Etapa 5.3.5

Simplifique cancelando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 3}{(x - 1) (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 5}$

Etapa 5.3.5.1.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{3 + 5 x + (x - 1) \cdot 3}{(x - 1) (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 5}$

Etapa 5.3.5.2

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.2.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{3 + 5 x + (x - 1) \cdot 3}{(x - 1) (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 5}$

Etapa 5.3.5.2.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{3 + 5 x + (x - 1) \cdot 3}{3 + 5 x + (x - 1) \cdot - 5}$

Etapa 5.3.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{3 + 5 x + x \cdot 3 - 1 \cdot 3}{3 + 5 x + (x - 1) \cdot - 5}$

Etapa 5.3.6.2

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{3 + 5 x + 3 \cdot x - 1 \cdot 3}{3 + 5 x + (x - 1) \cdot - 5}$

Etapa 5.3.6.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{3 + 5 x + 3 \cdot x - 3}{3 + 5 x + (x - 1) \cdot - 5}$

Etapa 5.3.6.4

Subtraia $3$ de $3$ .

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{5 x + 3 x + 0}{3 + 5 x + (x - 1) \cdot - 5}$

Etapa 5.3.6.5

Some $5 x + 3 x$ e $0$ .

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{5 x + 3 x}{3 + 5 x + (x - 1) \cdot - 5}$

Etapa 5.3.6.6

Some $5 x$ e $3 x$ .

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{8 x}{3 + 5 x + (x - 1) \cdot - 5}$

Etapa 5.3.7

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{8 x}{3 + 5 x + x \cdot - 5 - 1 \cdot - 5}$

Etapa 5.3.7.2

Mova $- 5$ para a esquerda de $x$ .

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{8 x}{3 + 5 x - 5 \cdot x - 1 \cdot - 5}$

Etapa 5.3.7.3

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{8 x}{3 + 5 x - 5 \cdot x + 5}$

Etapa 5.3.7.4

Some $3$ e $5$ .

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{8 x}{5 x - 5 x + 8}$

Etapa 5.3.7.5

Subtraia $5 x$ de $5 x$ .

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{8 x}{0 + 8}$

Etapa 5.3.7.6

Some $0$ e $8$ .

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{8 x}{8}$

Etapa 5.3.8

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.8.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{8 x}{8}$

Etapa 5.3.8.2

Divida $x$ por $1$ .

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{3 + 5 x}{x - 1}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x + 3}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 + 5 x}{x - 1}$