Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x + 5}{x + 10}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{x + 5}{x + 10}$ como uma equação.

$y = \frac{x + 5}{x + 10}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{y + 5}{y + 10}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{y + 5}{y + 10} = x$ .

$\frac{y + 5}{y + 10} = x$

Etapa 3.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y + 10, 1$

Etapa 3.2.2

Remova os parênteses.

$y + 10, 1$

Etapa 3.2.3

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$y + 10$

Etapa 3.3

Multiplique cada termo em $\frac{y + 5}{y + 10} = x$ por $y + 10$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{y + 5}{y + 10} = x$ por $y + 10$ .

$\frac{y + 5}{y + 10} (y + 10) = x (y + 10)$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $y + 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y + 5}{y + 10} (y + 10) = x (y + 10)$

Etapa 3.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$y + 5 = x (y + 10)$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y + 5 = x y + x \cdot 10$

Etapa 3.3.3.2

Mova $10$ para a esquerda de $x$ .

$y + 5 = x y + 10 x$

Etapa 3.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Subtraia $x y$ dos dois lados da equação.

$y + 5 - x y = 10 x$

Etapa 3.4.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$y - x y = 10 x - 5$

Etapa 3.4.3

Fatore $y$ de $y - x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - x y = 10 x - 5$

Etapa 3.4.3.2

Fatore $y$ de $- x y$ .

$y \cdot 1 + y (- x) = 10 x - 5$

Etapa 3.4.3.3

Fatore $y$ de $y \cdot 1 + y (- x)$ .

$y (1 - x) = 10 x - 5$

Etapa 3.4.4

Divida cada termo em $y (1 - x) = 10 x - 5$ por $1 - x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1

Divida cada termo em $y (1 - x) = 10 x - 5$ por $1 - x$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{10 x}{1 - x} + \frac{- 5}{1 - x}$

Etapa 3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $1 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{10 x}{1 - x} + \frac{- 5}{1 - x}$

Etapa 3.4.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{10 x}{1 - x} + \frac{- 5}{1 - x}$

Etapa 3.4.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{10 x - 5}{1 - x}$

Etapa 3.4.4.3.2

Fatore $5$ de $10 x - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.3.2.1

Fatore $5$ de $10 x$ .

$y = \frac{5 (2 x) - 5}{1 - x}$

Etapa 3.4.4.3.2.2

Fatore $5$ de $- 5$ .

$y = \frac{5 (2 x) + 5 (- 1)}{1 - x}$

Etapa 3.4.4.3.2.3

Fatore $5$ de $5 (2 x) + 5 (- 1)$ .

$y = \frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x + 5}{x + 10}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 (2 (\frac{x + 5}{x + 10}) - 1)}{1 - (\frac{x + 5}{x + 10})}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Combine $2$ e $\frac{x + 5}{x + 10}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 (\frac{2 (x + 5)}{x + 10} - 1)}{1 - \frac{x + 5}{x + 10}}$

Etapa 5.2.3.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 10}{x + 10}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 (\frac{2 (x + 5)}{x + 10} - 1 \cdot \frac{x + 10}{x + 10})}{1 - \frac{x + 5}{x + 10}}$

Etapa 5.2.3.3

Combine $- 1$ e $\frac{x + 10}{x + 10}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 (\frac{2 (x + 5)}{x + 10} + \frac{- (x + 10)}{x + 10})}{1 - \frac{x + 5}{x + 10}}$

Etapa 5.2.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 (\frac{2 (x + 5) - (x + 10)}{x + 10})}{1 - \frac{x + 5}{x + 10}}$

Etapa 5.2.3.5

Reescreva $\frac{2 (x + 5) - (x + 10)}{x + 10}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 (\frac{2 x + 2 \cdot 5 - (x + 10)}{x + 10})}{1 - \frac{x + 5}{x + 10}}$

Etapa 5.2.3.5.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 (\frac{2 x + 10 - (x + 10)}{x + 10})}{1 - \frac{x + 5}{x + 10}}$

Etapa 5.2.3.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 (\frac{2 x + 10 - x - 1 \cdot 10}{x + 10})}{1 - \frac{x + 5}{x + 10}}$

Etapa 5.2.3.5.4

Multiplique $- 1$ por $10$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 (\frac{2 x + 10 - x - 10}{x + 10})}{1 - \frac{x + 5}{x + 10}}$

Etapa 5.2.3.5.5

Subtraia $x$ de $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 (\frac{x + 10 - 10}{x + 10})}{1 - \frac{x + 5}{x + 10}}$

Etapa 5.2.3.5.6

Subtraia $10$ de $10$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 (\frac{x + 0}{x + 10})}{1 - \frac{x + 5}{x + 10}}$

Etapa 5.2.3.5.7

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 (\frac{x}{x + 10})}{1 - \frac{x + 5}{x + 10}}$

Etapa 5.2.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 (\frac{x}{x + 10})}{\frac{x + 10}{x + 10} - \frac{x + 5}{x + 10}}$

Etapa 5.2.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 (\frac{x}{x + 10})}{\frac{x + 10 - (x + 5)}{x + 10}}$

Etapa 5.2.4.3

Reescreva $\frac{x + 10 - (x + 5)}{x + 10}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 (\frac{x}{x + 10})}{\frac{x + 10 - x - 1 \cdot 5}{x + 10}}$

Etapa 5.2.4.3.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 (\frac{x}{x + 10})}{\frac{x + 10 - x - 5}{x + 10}}$

Etapa 5.2.4.3.3

Subtraia $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 (\frac{x}{x + 10})}{\frac{0 + 10 - 5}{x + 10}}$

Etapa 5.2.4.3.4

Some $0$ e $10$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 (\frac{x}{x + 10})}{\frac{10 - 5}{x + 10}}$

Etapa 5.2.4.3.5

Subtraia $5$ de $10$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 (\frac{x}{x + 10})}{\frac{5}{x + 10}}$

Etapa 5.2.5

Combine $5$ e $\frac{x}{x + 10}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{\frac{5 x}{x + 10}}{\frac{5}{x + 10}}$

Etapa 5.2.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 x}{x + 10} \cdot \frac{x + 10}{5}$

Etapa 5.2.7

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.7.1

Fatore $5$ de $5 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 (x)}{x + 10} \cdot \frac{x + 10}{5}$

Etapa 5.2.7.2

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{5 x}{x + 10} \cdot \frac{x + 10}{5}$

Etapa 5.2.7.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{x}{x + 10} \cdot (x + 10)$

Etapa 5.2.8

Cancele o fator comum de $x + 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.8.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = \frac{x}{x + 10} \cdot (x + 10)$

Etapa 5.2.8.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{x + 5}{x + 10}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{(\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) + 5}{(\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) + 10}$

Etapa 5.3.3

Cancele o fator comum de $(\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) + 5$ e $(\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) + 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Fatore $5$ de $\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}$ .

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{5 (\frac{2 x - 1}{1 - x}) + 5}{(\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) + 10}$

Etapa 5.3.3.2

Fatore $5$ de $5$ .

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{5 (\frac{2 x - 1}{1 - x}) + 5 \cdot 1}{\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x} + 10}$

Etapa 5.3.3.3

Fatore $5$ de $5 \frac{2 x - 1}{1 - x} + 5 (1)$ .

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{5 (\frac{2 x - 1}{1 - x} + 1)}{(\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) + 10}$

Etapa 5.3.3.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.4.1

Fatore $5$ de $\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}$ .

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{5 (\frac{2 x - 1}{1 - x} + 1)}{5 (\frac{2 x - 1}{1 - x}) + 10}$

Etapa 5.3.3.4.2

Fatore $5$ de $10$ .

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{5 (\frac{2 x - 1}{1 - x} + 1)}{5 (\frac{2 x - 1}{1 - x}) + 5 \cdot 2}$

Etapa 5.3.3.4.3

Fatore $5$ de $5 \frac{2 x - 1}{1 - x} + 5 \cdot 2$ .

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{5 (\frac{2 x - 1}{1 - x} + 1)}{5 (\frac{2 x - 1}{1 - x} + 2)}$

Etapa 5.3.3.4.4

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{5 (\frac{2 x - 1}{1 - x} + 1)}{5 (\frac{2 x - 1}{1 - x} + 2)}$

Etapa 5.3.3.4.5

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{\frac{2 x - 1}{1 - x} + 1}{\frac{2 x - 1}{1 - x} + 2}$

Etapa 5.3.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $1 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Multiplique $\frac{\frac{2 x - 1}{1 - x} + 1}{\frac{2 x - 1}{1 - x} + 2}$ por $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{1 - x}{1 - x} \cdot \frac{\frac{2 x - 1}{1 - x} + 1}{\frac{2 x - 1}{1 - x} + 2}$

Etapa 5.3.4.2

Combine.

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{2 x - 1}{1 - x} + 1)}{(1 - x) (\frac{2 x - 1}{1 - x} + 2)}$

Etapa 5.3.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{2 x - 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 1}{(1 - x) (\frac{2 x - 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 2}$

Etapa 5.3.6

Simplifique cancelando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.6.1

Cancele o fator comum de $1 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.6.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{2 x - 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 1}{(1 - x) (\frac{2 x - 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 2}$

Etapa 5.3.6.1.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{2 x - 1 + (1 - x) \cdot 1}{(1 - x) (\frac{2 x - 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 2}$

Etapa 5.3.6.2

Cancele o fator comum de $1 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.6.2.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{2 x - 1 + (1 - x) \cdot 1}{(1 - x) (\frac{2 x - 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 2}$

Etapa 5.3.6.2.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{2 x - 1 + (1 - x) \cdot 1}{2 x - 1 + (1 - x) \cdot 2}$

Etapa 5.3.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.1

Multiplique $1 - x$ por $1$ .

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{2 x - 1 + 1 - x}{2 x - 1 + (1 - x) \cdot 2}$

Etapa 5.3.7.2

Subtraia $x$ de $2 x$ .

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{x - 1 + 1}{2 x - 1 + (1 - x) \cdot 2}$

Etapa 5.3.7.3

Some $- 1$ e $1$ .

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{x + 0}{2 x - 1 + (1 - x) \cdot 2}$

Etapa 5.3.7.4

Some $x$ e $0$ .

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{x}{2 x - 1 + (1 - x) \cdot 2}$

Etapa 5.3.8

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{x}{2 x - 1 + 1 \cdot 2 - x \cdot 2}$

Etapa 5.3.8.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{x}{2 x - 1 + 2 - x \cdot 2}$

Etapa 5.3.8.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{x}{2 x - 1 + 2 - 2 x}$

Etapa 5.3.8.4

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{x}{0 - 1 + 2}$

Etapa 5.3.8.5

Subtraia $1$ de $0$ .

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{x}{- 1 + 2}$

Etapa 5.3.8.6

Some $- 1$ e $2$ .

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = \frac{x}{1}$

Etapa 5.3.9

Divida $x$ por $1$ .

$f (\frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x + 5}{x + 10}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 (2 x - 1)}{1 - x}$