Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{6}{\sqrt{8 - x}}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{6}{\sqrt{8 - x}}$ como uma equação.

$y = \frac{6}{\sqrt{8 - x}}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{6}{\sqrt{8 - y}}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{6}{\sqrt{8 - y}} = x$ .

$\frac{6}{\sqrt{8 - y}} = x$

Etapa 3.2

Calcule a regra de três.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Calcule a regra de três definindo o produto do numerador do lado direito e o denominador do lado esquerdo como igual ao produto do numerador do lado esquerdo e o denominador do lado direito.

$x \cdot (\sqrt{8 - y}) = 6$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Multiplique $x$ por $\sqrt{8 - y}$ .

$x \sqrt{8 - y} = 6$

Etapa 3.3

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(x \sqrt{8 - y})}^{2} = 6^{2}$

Etapa 3.4

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{8 - y}$ como ${(8 - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x {(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Simplifique ${(x {(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Aplique a regra do produto a $x {(8 - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} {({(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Etapa 3.4.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${({(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} {(8 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Etapa 3.4.2.1.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} {(8 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Etapa 3.4.2.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} {(8 - y)}^{1} = 6^{2}$

Etapa 3.4.2.1.3

Simplifique.

$x^{2} (8 - y) = 6^{2}$

Etapa 3.4.2.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} \cdot 8 + x^{2} (- y) = 6^{2}$

Etapa 3.4.2.1.5

Reordene.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.5.1

Mova $8$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$8 \cdot x^{2} + x^{2} (- y) = 6^{2}$

Etapa 3.4.2.1.5.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$8 x^{2} - x^{2} y = 6^{2}$

Etapa 3.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$8 x^{2} - x^{2} y = 36$

Etapa 3.5

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Subtraia $8 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} y = 36 - 8 x^{2}$

Etapa 3.5.2

Divida cada termo em $- x^{2} y = 36 - 8 x^{2}$ por $- x^{2}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} y = 36 - 8 x^{2}$ por $- x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} y}{- x^{2}} = \frac{36}{- x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

Etapa 3.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{36}{- x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

Etapa 3.5.2.2.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{36}{- x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

Etapa 3.5.2.2.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{36}{- x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

Etapa 3.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{36}{x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

Etapa 3.5.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y = - \frac{36}{x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

Etapa 3.5.2.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y = - \frac{36}{x^{2}} + \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 3.5.2.3.1.2.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{- 8}{- 1}$ .

$y = - \frac{36}{x^{2}} - 1 \cdot - 8$

Etapa 3.5.2.3.1.3

Reescreva $- 1 \cdot - 8$ como $- - 8$ .

$y = - \frac{36}{x^{2}} - - 8$

Etapa 3.5.2.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$y = - \frac{36}{x^{2}} + 8$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{36}{x^{2}} + 8$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = - \frac{36}{x^{2}} + 8$ é o inverso de $f (x) = \frac{6}{\sqrt{8 - x}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{{(\frac{6}{\sqrt{8 - x}})}^{2}} + 8$

Etapa 5.2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{6}{\sqrt{8 - x}}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{6^{2}}{{\sqrt{8 - x}}^{2}}} + 8$

Etapa 5.2.3.1.2

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{{\sqrt{8 - x}}^{2}}} + 8$

Etapa 5.2.3.1.3

Reescreva ${\sqrt{8 - x}}^{2}$ como $8 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{8 - x}$ como ${(8 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{{({(8 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}} + 8$

Etapa 5.2.3.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{{(8 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} + 8$

Etapa 5.2.3.1.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{{(8 - x)}^{\frac{2}{2}}}} + 8$

Etapa 5.2.3.1.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{{(8 - x)}^{\frac{2}{2}}}} + 8$

Etapa 5.2.3.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{8 - x}} + 8$

Etapa 5.2.3.1.3.5

Simplifique.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{8 - x}} + 8$

Etapa 5.2.3.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - (36 (\frac{8 - x}{36})) + 8$

Etapa 5.2.3.3

Cancele o fator comum de $36$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.3.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - (36 (\frac{8 - x}{36})) + 8$

Etapa 5.2.3.3.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - (8 - x) + 8$

Etapa 5.2.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - 1 \cdot 8 + x + 8$

Etapa 5.2.3.5

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - 8 + x + 8$

Etapa 5.2.3.6

Multiplique $- - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - 8 + 1 x + 8$

Etapa 5.2.3.6.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - 8 + x + 8$

Etapa 5.2.4

Combine os termos opostos em $- 8 + x + 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Some $- 8$ e $8$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = x + 0$

Etapa 5.2.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (- \frac{36}{x^{2}} + 8)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - (- \frac{36}{x^{2}} + 8)}}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Para escrever $8$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - (- \frac{36}{x^{2}} + \frac{8 x^{2}}{x^{2}})}}$

Etapa 5.3.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - \frac{- 36 + 8 x^{2}}{x^{2}}}}$

Etapa 5.3.3.3

Fatore $4$ de $- 36 + 8 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.3.1

Fatore $4$ de $- 36$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - \frac{4 (- 9) + 8 x^{2}}{x^{2}}}}$

Etapa 5.3.3.3.2

Fatore $4$ de $8 x^{2}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - \frac{4 (- 9) + 4 (2 x^{2})}{x^{2}}}}$

Etapa 5.3.3.3.3

Fatore $4$ de $4 (- 9) + 4 (2 x^{2})$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - \frac{4 (- 9 + 2 x^{2})}{x^{2}}}}$

Etapa 5.3.3.4

Para escrever $8$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{8 x^{2}}{x^{2}} - \frac{4 (- 9 + 2 x^{2})}{x^{2}}}}$

Etapa 5.3.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{8 x^{2} - 4 (- 9 + 2 x^{2})}{x^{2}}}}$

Etapa 5.3.3.6

Reescreva $\frac{8 x^{2} - 4 (- 9 + 2 x^{2})}{x^{2}}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.6.1

Fatore $4$ de $8 x^{2} - 4 (- 9 + 2 x^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.6.1.1

Fatore $4$ de $8 x^{2}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2}) - 4 (- 9 + 2 x^{2})}{x^{2}}}}$

Etapa 5.3.3.6.1.2

Fatore $4$ de $- 4 (- 9 + 2 x^{2})$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2}) + 4 (- (- 9 + 2 x^{2}))}{x^{2}}}}$

Etapa 5.3.3.6.1.3

Fatore $4$ de $4 (2 x^{2}) + 4 (- (- 9 + 2 x^{2}))$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2} - (- 9 + 2 x^{2}))}{x^{2}}}}$

Etapa 5.3.3.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2} + 9 - (2 x^{2}))}{x^{2}}}}$

Etapa 5.3.3.6.3

Multiplique $- 1$ por $- 9$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2} + 9 - (2 x^{2}))}{x^{2}}}}$

Etapa 5.3.3.6.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2} + 9 - 2 x^{2})}{x^{2}}}}$

Etapa 5.3.3.6.5

Subtraia $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (0 + 9)}{x^{2}}}}$

Etapa 5.3.3.6.6

Some $0$ e $9$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 \cdot 9}{x^{2}}}}$

Etapa 5.3.3.7

Multiplique $4$ por $9$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{36}{x^{2}}}}$

Etapa 5.3.3.8

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{6^{2}}{x^{2}}}}$

Etapa 5.3.3.9

Reescreva $\frac{6^{2}}{x^{2}}$ como ${(\frac{6}{x})}^{2}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{{(\frac{6}{x})}^{2}}}$

Etapa 5.3.3.10

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\frac{6}{x}}$

Etapa 5.3.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = 6 (\frac{x}{6})$

Etapa 5.3.5

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = 6 (\frac{x}{6})$

Etapa 5.3.5.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = - \frac{36}{x^{2}} + 8$ é o inverso de $f (x) = \frac{6}{\sqrt{8 - x}}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{36}{x^{2}} + 8$