Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} + 1$

Etapa 1

Escreva $f (x) = x^{\frac{1}{3}} + 1$ como uma equação.

$y = x^{\frac{1}{3}} + 1$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = y^{\frac{1}{3}} + 1$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $y^{\frac{1}{3}} + 1 = x$ .

$y^{\frac{1}{3}} + 1 = x$

Etapa 3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y^{\frac{1}{3}} - x = - 1$

Etapa 3.2.2

Some $x$ aos dois lados da equação.

$y^{\frac{1}{3}} = - 1 + x$

Etapa 3.3

Eleve cada lado da equação à potência de $3$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1 + x)}^{3}$

Etapa 3.4

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1

Simplifique ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 3.4.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 3.4.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1 + x)}^{3}$

Etapa 3.4.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1 + x)}^{3}$

Etapa 3.4.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{1} = {(- 1 + x)}^{3}$

Etapa 3.4.1.1.2

Simplifique.

$y = {(- 1 + x)}^{3}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.1

Simplifique ${(- 1 + x)}^{3}$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Use o teorema binomial.

$y = {(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} x + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3}$

Etapa 3.4.2.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.2.1.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$y = - 1 + 3 {(- 1)}^{2} x + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3}$

Etapa 3.4.2.1.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$y = - 1 + 3 \cdot 1 x + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3}$

Etapa 3.4.2.1.2.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$y = - 1 + 3 x + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3}$

Etapa 3.4.2.1.2.4

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$y = - 1 + 3 x - 3 x^{2} + x^{3}$

Etapa 3.5

Simplifique $- 1 + 3 x - 3 x^{2} + x^{3}$ .

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Etapa 3.5.1

Mova $- 1$ .

$y = 3 x - 3 x^{2} + x^{3} - 1$

Etapa 3.5.2

Mova $3 x$ .

$y = - 3 x^{2} + x^{3} + 3 x - 1$

Etapa 3.5.3

Reordene $- 3 x^{2}$ e $x^{3}$ .

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ é o inverso de $f (x) = x^{\frac{1}{3}} + 1$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1)$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Etapa 5.2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1

Use o teorema binomial.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1^{2} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Etapa 5.2.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 5.2.3.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1^{2} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Etapa 5.2.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1^{2} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Etapa 5.2.3.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1^{2} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Etapa 5.2.3.2.2

Simplifique.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1^{2} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Etapa 5.2.3.2.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Etapa 5.2.3.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{1}{3} \cdot 2} \cdot 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1^{2} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Etapa 5.2.3.2.3.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $2$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} \cdot 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1^{2} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Etapa 5.2.3.2.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1^{2} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Etapa 5.2.3.2.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Etapa 5.2.3.2.6

Multiplique $3$ por $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Etapa 5.2.3.2.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Etapa 5.2.3.3

Reescreva ${(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2}$ como $(x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} + 1)$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 ((x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} + 1)) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Etapa 5.2.3.4

Expanda $(x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.2.3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} + 1) + 1 (x^{\frac{1}{3}} + 1)) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Etapa 5.2.3.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + 1 (x^{\frac{1}{3}} + 1)) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Etapa 5.2.3.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + 1 x^{\frac{1}{3}} + 1 \cdot 1) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Etapa 5.2.3.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.2.3.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.5.1.1

Multiplique $x^{\frac{1}{3}}$ por $x^{\frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.3.5.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + 1 x^{\frac{1}{3}} + 1 \cdot 1) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Etapa 5.2.3.5.1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{1 + 1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + 1 x^{\frac{1}{3}} + 1 \cdot 1) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Etapa 5.2.3.5.1.1.3

Some $1$ e $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + 1 x^{\frac{1}{3}} + 1 \cdot 1) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Etapa 5.2.3.5.1.2

Multiplique $x^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + 1 x^{\frac{1}{3}} + 1 \cdot 1) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Etapa 5.2.3.5.1.3

Multiplique $x^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + 1 \cdot 1) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Etapa 5.2.3.5.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + 1) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Etapa 5.2.3.5.2

Some $x^{\frac{1}{3}}$ e $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} + 1) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Etapa 5.2.3.6

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 x^{\frac{2}{3}} - 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot 1 + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Etapa 5.2.3.7

Simplifique.

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Etapa 5.2.3.7.1

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} - 3 \cdot 1 + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Etapa 5.2.3.7.2

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} - 3 + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Etapa 5.2.3.8

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 \cdot 1 - 1$

Etapa 5.2.3.9

Multiplique $3$ por $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 - 1$

Etapa 5.2.4

Simplifique somando os termos.

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Etapa 5.2.4.1

Combine os termos opostos em $x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 - 1$ .

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Etapa 5.2.4.1.1

Subtraia $3 x^{\frac{2}{3}}$ de $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 0 - 6 x^{\frac{1}{3}} - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 - 1$

Etapa 5.2.4.1.2

Some $x + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1$ e $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 6 x^{\frac{1}{3}} - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 - 1$

Etapa 5.2.4.1.3

Some $- 3$ e $3$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 0 - 1$

Etapa 5.2.4.1.4

Some $x + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}}$ e $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1$

Etapa 5.2.4.1.5

Subtraia $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 0$

Etapa 5.2.4.1.6

Some $x + 3 x^{\frac{1}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}}$ e $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 5.2.4.2

Subtraia $6 x^{\frac{1}{3}}$ de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x - 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 5.2.4.3

Combine os termos opostos em $x - 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}}$ .

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Etapa 5.2.4.3.1

Some $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ e $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 0$

Etapa 5.2.4.3.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1) = {(x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 1$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ é o inverso de $f (x) = x^{\frac{1}{3}} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$