Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x}{2 x + 1}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{x}{2 x + 1}$ como uma equação.

$y = \frac{x}{2 x + 1}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{y}{2 y + 1}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{y}{2 y + 1} = x$ .

$\frac{y}{2 y + 1} = x$

Etapa 3.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$2 y + 1, 1$

Etapa 3.2.2

Remova os parênteses.

$2 y + 1, 1$

Etapa 3.2.3

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$2 y + 1$

Etapa 3.3

Multiplique cada termo em $\frac{y}{2 y + 1} = x$ por $2 y + 1$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{y}{2 y + 1} = x$ por $2 y + 1$ .

$\frac{y}{2 y + 1} (2 y + 1) = x (2 y + 1)$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2 y + 1$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{2 y + 1} (2 y + 1) = x (2 y + 1)$

Etapa 3.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$y = x (2 y + 1)$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = x (2 y) + x \cdot 1$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.3.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = 2 x y + x \cdot 1$

Etapa 3.3.3.2.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$y = 2 x y + x$

Etapa 3.4

Resolva a equação.

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Etapa 3.4.1

Subtraia $2 x y$ dos dois lados da equação.

$y - 2 x y = x$

Etapa 3.4.2

Fatore $y$ de $y - 2 x y$ .

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Etapa 3.4.2.1

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - 2 x y = x$

Etapa 3.4.2.2

Fatore $y$ de $- 2 x y$ .

$y \cdot 1 + y (- 2 x) = x$

Etapa 3.4.2.3

Fatore $y$ de $y \cdot 1 + y (- 2 x)$ .

$y (1 - 2 x) = x$

Etapa 3.4.3

Divida cada termo em $y (1 - 2 x) = x$ por $1 - 2 x$ e simplifique.

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Etapa 3.4.3.1

Divida cada termo em $y (1 - 2 x) = x$ por $1 - 2 x$ .

$\frac{y (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Etapa 3.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.3.2.1

Cancele o fator comum de $1 - 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Etapa 3.4.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x}{1 - 2 x}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{1 - 2 x}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{x}{1 - 2 x}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x}{2 x + 1}$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{\frac{x}{2 x + 1}}{1 - 2 \frac{x}{2 x + 1}}$

Etapa 5.2.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{1 - 2 \frac{x}{2 x + 1}}$

Etapa 5.2.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.4.1

Combine $- 2$ e $\frac{x}{2 x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{1 + \frac{- 2 x}{2 x + 1}}$

Etapa 5.2.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{1 - \frac{2 x}{2 x + 1}}$

Etapa 5.2.4.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 x + 1}{2 x + 1} - \frac{2 x}{2 x + 1}}$

Etapa 5.2.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 x + 1 - 2 x}{2 x + 1}}$

Etapa 5.2.4.5

Reordene os termos.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 x - 2 x + 1}{2 x + 1}}$

Etapa 5.2.4.6

Reescreva $\frac{2 x - 2 x + 1}{2 x + 1}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 5.2.4.6.1

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{2 x + 1}}$

Etapa 5.2.4.6.2

Some $0$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2 x + 1}}$

Etapa 5.2.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot (1 (2 x + 1))$

Etapa 5.2.6

Cancele o fator comum de $2 x + 1$ .

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Etapa 5.2.6.1

Fatore $2 x + 1$ de $1 (2 x + 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot ((2 x + 1) \cdot 1)$

Etapa 5.2.6.2

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot ((2 x + 1) \cdot 1)$

Etapa 5.2.6.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{x}{1 - 2 x})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{2 (\frac{x}{1 - 2 x}) + 1}$

Etapa 5.3.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{2 (\frac{x}{1 - 2 x}) + 1}$

Etapa 5.3.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.3.4.1

Combine $2$ e $\frac{x}{1 - 2 x}$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x}{1 - 2 x} + 1}$

Etapa 5.3.4.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x}{1 - 2 x} + \frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}}$

Etapa 5.3.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x + 1 - 2 x}{1 - 2 x}}$

Etapa 5.3.4.4

Reordene os termos.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x - 2 x + 1}{- 2 x + 1}}$

Etapa 5.3.4.5

Reescreva $\frac{2 x - 2 x + 1}{- 2 x + 1}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 5.3.4.5.1

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{- 2 x + 1}}$

Etapa 5.3.4.5.2

Some $0$ e $1$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{- 2 x + 1}}$

Etapa 5.3.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot (1 (- 2 x + 1))$

Etapa 5.3.6

Multiplique $- 2 x + 1$ por $1$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot (- 2 x + 1)$

Etapa 5.3.7

Multiplique $\frac{x}{1 - 2 x}$ por $- 2 x + 1$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x (- 2 x + 1)}{1 - 2 x}$

Etapa 5.3.8

Cancele o fator comum de $- 2 x + 1$ e $1 - 2 x$ .

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Etapa 5.3.8.1

Reordene os termos.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x (- 2 x + 1)}{- 2 x + 1}$

Etapa 5.3.8.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x (- 2 x + 1)}{- 2 x + 1}$

Etapa 5.3.8.3

Divida $x$ por $1$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{x}{1 - 2 x}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x}{2 x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{1 - 2 x}$