Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{6 x - 3}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \sqrt{6 x - 3}$ como uma equação.

$y = \sqrt{6 x - 3}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \sqrt{6 y - 3}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\sqrt{6 y - 3} = x$ .

$\sqrt{6 y - 3} = x$

Etapa 3.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{6 y - 3}}^{2} = x^{2}$

Etapa 3.3

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6 y - 3}$ como ${(6 y - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(6 y - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique ${({(6 y - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(6 y - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 y - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(6 y - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(6 y - 3)}^{1} = x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.2

Simplifique.

$6 y - 3 = x^{2}$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$6 y = x^{2} + 3$

Etapa 3.4.2

Divida cada termo em $6 y = x^{2} + 3$ por $6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Divida cada termo em $6 y = x^{2} + 3$ por $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{6}$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 y}{6} = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{6}$

Etapa 3.4.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{6}$

Etapa 3.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.3.1

Cancele o fator comum de $3$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.3.1.1

Fatore $3$ de $3$ .

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3 (1)}{6}$

Etapa 3.4.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.3.1.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Etapa 3.4.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Etapa 3.4.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}$ é o inverso de $f (x) = \sqrt{6 x - 3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{(\sqrt{6 x - 3})}^{2}}{6} + \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1

Fatore $3$ de $6 x - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1.1

Fatore $3$ de $6 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{\sqrt{3 (2 x) - 3}}^{2}}{6} + \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3.1.1.2

Fatore $3$ de $- 3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{\sqrt{3 (2 x) + 3 (- 1)}}^{2}}{6} + \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3.1.1.3

Fatore $3$ de $3 (2 x) + 3 (- 1)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{\sqrt{3 (2 x - 1)}}^{2}}{6} + \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3.1.2

Reescreva ${\sqrt{3 (2 x - 1)}}^{2}$ como $3 (2 x - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3 (2 x - 1)}$ como ${(3 (2 x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{({(3 (2 x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6} + \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{(3 (2 x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6} + \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3.1.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{(3 (2 x - 1))}^{\frac{2}{2}}}{6} + \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3.1.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{(3 (2 x - 1))}^{\frac{2}{2}}}{6} + \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3.1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x - 1)}{6} + \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3.1.2.5

Simplifique.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x - 1)}{6} + \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x) + 3 \cdot - 1}{6} + \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3.1.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{6 x + 3 \cdot - 1}{6} + \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3.1.5

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{6 x - 3}{6} + \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3.1.6

Fatore $3$ de $6 x - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.6.1

Fatore $3$ de $6 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x) - 3}{6} + \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3.1.6.2

Fatore $3$ de $- 3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x) + 3 (- 1)}{6} + \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3.1.6.3

Fatore $3$ de $3 (2 x) + 3 (- 1)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x - 1)}{6} + \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x - 1)}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x - 1)}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{2 x - 1}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.4

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

Etapa 5.2.4.2

Combine os termos opostos em $2 x - 1 + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.2.1

Some $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Etapa 5.2.4.2.2

Some $2 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{2 x}{2}$

Etapa 5.2.4.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.3.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{2 x}{2}$

Etapa 5.2.4.3.2

Divida $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{6 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) - 3}$

Etapa 5.3.3

Fatore $3$ de $6 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Fatore $3$ de $6 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2})$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2})) - 3}$

Etapa 5.3.3.2

Fatore $3$ de $- 3$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2})) + 3 (- 1)}$

Etapa 5.3.3.3

Fatore $3$ de $3 (2 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2})) + 3 (- 1)$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) - 1)}$

Etapa 5.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{6}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Etapa 5.3.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Fatore $2$ de $6$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{2 (3)}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Etapa 5.3.5.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{2 \cdot 3}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Etapa 5.3.5.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Etapa 5.3.6

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.6.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Etapa 5.3.6.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 1 - 1)}$

Etapa 5.3.7

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 0)}$

Etapa 5.3.7.2

Some $\frac{x^{2}}{3}$ e $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3})}$

Etapa 5.3.8

Combine $3$ e $\frac{x^{2}}{3}$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{3 x^{2}}{3}}$

Etapa 5.3.9

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.9.1

Reduza a expressão $\frac{3 x^{2}}{3}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.9.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{3 x^{2}}{3}}$

Etapa 5.3.9.1.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

Etapa 5.3.9.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{x^{2}}$

Etapa 5.3.10

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}$ é o inverso de $f (x) = \sqrt{6 x - 3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}$