Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ como uma equação.

$y = \sqrt{1 - x^{2}}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \sqrt{1 - y^{2}}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\sqrt{1 - y^{2}} = x$ .

$\sqrt{1 - y^{2}} = x$

Etapa 3.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{1 - y^{2}}}^{2} = x^{2}$

Etapa 3.3

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 - y^{2}}$ como ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Simplifique ${({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(1 - y^{2})}^{1} = x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.2

Simplifique.

$1 - y^{2} = x^{2}$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

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Etapa 3.4.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- y^{2} = x^{2} - 1$

Etapa 3.4.2

Divida cada termo em $- y^{2} = x^{2} - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.4.2.1

Divida cada termo em $- y^{2} = x^{2} - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.4.2.2.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.2.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.4.2.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$y^{2} = - x^{2} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.4.2.3.1.3

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$y^{2} = - x^{2} + 1$

Etapa 3.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 1}$

Etapa 3.4.4

Simplifique $\pm \sqrt{- x^{2} + 1}$ .

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Etapa 3.4.4.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.4.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 1^{2}}$

Etapa 3.4.4.1.2

Reordene $- x^{2}$ e $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

Etapa 3.4.4.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$y = \pm \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Etapa 3.4.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.4.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Etapa 3.4.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Etapa 3.4.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

$y = - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

$y = - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

$y = - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

$y = - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}, - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}, - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ é o inverso de $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ .

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Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ e $f^{- 1} (x) = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}, - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ .

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Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[0, 1]$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

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Etapa 5.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$(1 + x) (1 - x) \geq 0$

Etapa 5.3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.3.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Etapa 5.3.2.2

Defina $1 + x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Defina $1 + x$ como igual a $0$ .

$1 + x = 0$

Etapa 5.3.2.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 5.3.2.3

Defina $1 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.3.2.3.1

Defina $1 - x$ como igual a $0$ .

$1 - x = 0$

Etapa 5.3.2.3.2

Resolva $1 - x = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.3.2.3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- x = - 1$

Etapa 5.3.2.3.2.2

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.3.2.3.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.3.2.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.3.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.3.2.3.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.3.2.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.3.2.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Etapa 5.3.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $(1 + x) (1 - x) \geq 0$ verdadeiro.

$x = - 1, 1$

Etapa 5.3.2.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Etapa 5.3.2.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 5.3.2.6.1

Teste um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.3.2.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 5.3.2.6.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$(1 - 4) (1 - (- 4)) \geq 0$

Etapa 5.3.2.6.1.3

O lado esquerdo $- 15$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 5.3.2.6.2

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.3.2.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 5.3.2.6.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$(1 + 0) (1 - (0)) \geq 0$

Etapa 5.3.2.6.2.3

O lado esquerdo $1$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 5.3.2.6.3

Teste um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.3.2.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 5.3.2.6.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$(1 + 4) (1 - (4)) \geq 0$

Etapa 5.3.2.6.3.3

O lado esquerdo $- 15$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 5.3.2.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Falso

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Falso

Etapa 5.3.2.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 1 \leq x \leq 1$

Etapa 5.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[- 1, 1]$

Etapa 5.4

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}, - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ não é igual ao intervalo de $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ , então, $f^{- 1} (x) = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}, - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ não é um inverso de $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ .

Não há inverso

Etapa 6