Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = e^{x - 5} - 5$

Etapa 1

Escreva $f (x) = e^{x - 5} - 5$ como uma equação.

$y = e^{x - 5} - 5$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = e^{y - 5} - 5$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $e^{y - 5} - 5 = x$ .

$e^{y - 5} - 5 = x$

Etapa 3.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$e^{y - 5} = x + 5$

Etapa 3.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{y - 5}) = \ln (x + 5)$

Etapa 3.4

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.1

Expanda $\ln (e^{y - 5})$ movendo $y - 5$ para fora do logaritmo.

$(y - 5) \ln (e) = \ln (x + 5)$

Etapa 3.4.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$(y - 5) \cdot 1 = \ln (x + 5)$

Etapa 3.4.3

Multiplique $y - 5$ por $1$ .

$y - 5 = \ln (x + 5)$

Etapa 3.5

Some $5$ aos dois lados da equação.

$y = \ln (x + 5) + 5$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 5) + 5$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \ln (x + 5) + 5$ é o inverso de $f (x) = e^{x - 5} - 5$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (e^{x - 5} - 5)$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = \ln ((e^{x - 5} - 5) + 5) + 5$

Etapa 5.2.3

Combine os termos opostos em $\ln ((e^{x - 5} - 5) + 5) + 5$ .

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Etapa 5.2.3.1

Some $- 5$ e $5$ .

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = \ln (e^{x - 5} + 0) + 5$

Etapa 5.2.3.2

Some $e^{x - 5}$ e $0$ .

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = \ln (e^{x - 5}) + 5$

Etapa 5.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.4.1

Use as regras logarítmicas para mover $x - 5$ para fora do expoente.

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = (x - 5) \ln (e) + 5$

Etapa 5.2.4.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = (x - 5) \cdot 1 + 5$

Etapa 5.2.4.3

Multiplique $x - 5$ por $1$ .

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = x - 5 + 5$

Etapa 5.2.5

Combine os termos opostos em $x - 5 + 5$ .

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Etapa 5.2.5.1

Some $- 5$ e $5$ .

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = x + 0$

Etapa 5.2.5.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\ln (x + 5) + 5)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\ln (x + 5) + 5) = e^{(\ln (x + 5) + 5) - 5} - 5$

Etapa 5.3.3

Combine os termos opostos em $e^{(\ln (x + 5) + 5) - 5} - 5$ .

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Etapa 5.3.3.1

Subtraia $5$ de $5$ .

$f (\ln (x + 5) + 5) = e^{\ln (x + 5) + 0} - 5$

Etapa 5.3.3.2

Some $\ln (x + 5)$ e $0$ .

$f (\ln (x + 5) + 5) = e^{\ln (x + 5)} - 5$

Etapa 5.3.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (\ln (x + 5) + 5) = x + 5 - 5$

Etapa 5.3.5

Combine os termos opostos em $x + 5 - 5$ .

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Etapa 5.3.5.1

Subtraia $5$ de $5$ .

$f (\ln (x + 5) + 5) = x + 0$

Etapa 5.3.5.2

Some $x$ e $0$ .

$f (\ln (x + 5) + 5) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \ln (x + 5) + 5$ é o inverso de $f (x) = e^{x - 5} - 5$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 5) + 5$