Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = - 2 x^{2} + 3$

Etapa 1

Escreva $f (x) = - 2 x^{2} + 3$ como uma equação.

$y = - 2 x^{2} + 3$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = - 2 y^{2} + 3$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $- 2 y^{2} + 3 = x$ .

$- 2 y^{2} + 3 = x$

Etapa 3.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- 2 y^{2} = x - 3$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $- 2 y^{2} = x - 3$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $- 2 y^{2} = x - 3$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y^{2} = - \frac{x}{2} + \frac{- 3}{- 2}$

Etapa 3.3.3.1.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y^{2} = - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

Etapa 3.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{2} + \frac{3}{2}}$

Etapa 3.5

Simplifique $\pm \sqrt{- \frac{x}{2} + \frac{3}{2}}$ .

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Etapa 3.5.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{- x + 3}{2}}$

Etapa 3.5.2

Reescreva $\sqrt{\frac{- x + 3}{2}}$ como $\frac{\sqrt{- x + 3}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3}}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.5.3

Multiplique $\frac{\sqrt{- x + 3}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 3.5.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.5.4.1

Multiplique $\frac{\sqrt{- x + 3}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 3.5.4.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 3.5.4.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 3.5.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.5.4.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 3.5.4.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 3.5.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.5.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.5.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.5.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.5.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.5.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 3.5.4.6.5

Avalie o expoente.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.5.5

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x + 3) \cdot 2}}{2}$

Etapa 3.5.6

Reordene os fatores em $\pm \frac{\sqrt{(- x + 3) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

Etapa 3.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

Etapa 3.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

Etapa 3.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$ é o inverso de $f (x) = - 2 x^{2} + 3$ .

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Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = - 2 x^{2} + 3$ e $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (x) = - 2 x^{2} + 3$ .

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Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 3]$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $\frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$ .

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Etapa 5.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{2 (- x + 3)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$2 (- x + 3) \geq 0$

Etapa 5.3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.3.2.1

Divida cada termo em $2 (- x + 3) \geq 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.3.2.1.1

Divida cada termo em $2 (- x + 3) \geq 0$ por $2$ .

$\frac{2 (- x + 3)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Etapa 5.3.2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- x + 3)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Etapa 5.3.2.1.2.1.2

Divida $- x + 3$ por $1$ .

$- x + 3 \geq \frac{0}{2}$

Etapa 5.3.2.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.1.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$- x + 3 \geq 0$

Etapa 5.3.2.2

Subtraia $3$ dos dois lados da desigualdade.

$- x \geq - 3$

Etapa 5.3.2.3

Divida cada termo em $- x \geq - 3$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.3.2.3.1

Divida cada termo em $- x \geq - 3$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 5.3.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 5.3.2.3.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 5.3.2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.3.3.1

Divida $- 3$ por $- 1$ .

$x \leq 3$

Etapa 5.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 3]$

Etapa 5.4

Encontre o domínio de $f (x) = - 2 x^{2} + 3$ .

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Etapa 5.4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 5.5

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$ é o intervalo de $f (x) = - 2 x^{2} + 3$ , e o intervalo de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$ é o domínio de $f (x) = - 2 x^{2} + 3$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$ é o inverso de $f (x) = - 2 x^{2} + 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

Etapa 6