Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 2 \sqrt{x} + 3$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 2 \sqrt{x} + 3$ como uma equação.

$y = 2 \sqrt{x} + 3$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 2 \sqrt{y} + 3$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $2 \sqrt{y} + 3 = x$ .

$2 \sqrt{y} + 3 = x$

Etapa 3.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$2 \sqrt{y} = x - 3$

Etapa 3.3

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(2 \sqrt{y})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Etapa 3.4

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Simplifique ${(2 y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Aplique a regra do produto a $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$4 y^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Etapa 3.4.2.1.4

Simplifique.

$4 y = {(x - 3)}^{2}$

Etapa 3.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Simplifique ${(x - 3)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.1

Reescreva ${(x - 3)}^{2}$ como $(x - 3) (x - 3)$ .

$4 y = (x - 3) (x - 3)$

Etapa 3.4.3.1.2

Expanda $(x - 3) (x - 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y = x (x - 3) - 3 (x - 3)$

Etapa 3.4.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)$

Etapa 3.4.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

Etapa 3.4.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$4 y = x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

Etapa 3.4.3.1.3.1.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$4 y = x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3$

Etapa 3.4.3.1.3.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$4 y = x^{2} - 3 x - 3 x + 9$

Etapa 3.4.3.1.3.2

Subtraia $3 x$ de $- 3 x$ .

$4 y = x^{2} - 6 x + 9$

Etapa 3.5

Divida cada termo em $4 y = x^{2} - 6 x + 9$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Divida cada termo em $4 y = x^{2} - 6 x + 9$ por $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{4} + \frac{9}{4}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{4} + \frac{9}{4}$

Etapa 3.5.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{4} + \frac{9}{4}$

Etapa 3.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.1

Cancele o fator comum de $- 6$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.1.1

Fatore $2$ de $- 6 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{4} + \frac{9}{4}$

Etapa 3.5.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.1.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (2)} + \frac{9}{4}$

Etapa 3.5.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 2} + \frac{9}{4}$

Etapa 3.5.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{9}{4}$

Etapa 3.5.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$ é o inverso de $f (x) = 2 \sqrt{x} + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3)$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2}}{4} - \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3)}{2} + \frac{9}{4}$

Etapa 5.2.3

Para escrever $- \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3)}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2}}{4} - \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3)}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{4}$

Etapa 5.2.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Multiplique $\frac{3 (2 \sqrt{x} + 3)}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2}}{4} - \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3) \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9}{4}$

Etapa 5.2.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2}}{4} - \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3) \cdot 2}{4} + \frac{9}{4}$

Etapa 5.2.5

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 3 (2 \sqrt{x} + 3) \cdot 2}{4} + \frac{9}{4}$

Etapa 5.2.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 3 (2 \sqrt{x} + 3) \cdot 2 + 9}{4}$

Etapa 5.2.5.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} + (- 3 (2 \sqrt{x}) - 3 \cdot 3) \cdot 2 + 9}{4}$

Etapa 5.2.5.3.2

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} + (- 6 \sqrt{x} - 3 \cdot 3) \cdot 2 + 9}{4}$

Etapa 5.2.5.3.3

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} + (- 6 \sqrt{x} - 9) \cdot 2 + 9}{4}$

Etapa 5.2.5.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 6 \sqrt{x} \cdot 2 - 9 \cdot 2 + 9}{4}$

Etapa 5.2.5.3.5

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 12 \sqrt{x} - 9 \cdot 2 + 9}{4}$

Etapa 5.2.5.3.6

Multiplique $- 9$ por $2$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 12 \sqrt{x} - 18 + 9}{4}$

Etapa 5.2.5.4

Some $- 18$ e $9$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 12 \sqrt{x} - 9}{4}$

Etapa 5.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.1

Deixe $u = \sqrt{x}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $\sqrt{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.1.1

Subtraia $12 u$ de $12 u$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 u^{2} + 0 + 9 - 9}{4}$

Etapa 5.2.6.1.2

Some $4 u^{2}$ e $0$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 u^{2} + 9 - 9}{4}$

Etapa 5.2.6.1.3

Subtraia $9$ de $9$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 u^{2} + 0}{4}$

Etapa 5.2.6.1.4

Some $4 u^{2}$ e $0$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 u^{2}}{4}$

Etapa 5.2.6.2

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 {\sqrt{x}}^{2}}{4}$

Etapa 5.2.6.3

Reescreva ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Etapa 5.2.6.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Etapa 5.2.6.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x^{\frac{2}{2}}}{4}$

Etapa 5.2.6.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x^{\frac{2}{2}}}{4}$

Etapa 5.2.6.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x}{4}$

Etapa 5.2.6.3.5

Simplifique.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x}{4}$

Etapa 5.2.7

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.7.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x}{4}$

Etapa 5.2.7.2

Divida $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}} + 3$

Etapa 5.3.3

Remova os parênteses.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}} + 3$

Etapa 5.3.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{2^{2}} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}} + 3$

Etapa 5.3.4.1.2

Reescreva $\frac{x^{2}}{2^{2}}$ como ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}} + 3$

Etapa 5.3.4.1.3

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{3^{2}}{4}} + 3$

Etapa 5.3.4.1.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{3^{2}}{2^{2}}} + 3$

Etapa 5.3.4.1.5

Reescreva $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ como ${(\frac{3}{2})}^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - \frac{3 x}{2} + {(\frac{3}{2})}^{2}} + 3$

Etapa 5.3.4.1.6

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$\frac{3 x}{2} = 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{2}$

Etapa 5.3.4.1.7

Reescreva o polinômio.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{2} + {(\frac{3}{2})}^{2}} + 3$

Etapa 5.3.4.1.8

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = \frac{x}{2}$ e $b = \frac{3}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2} - \frac{3}{2})}^{2}} + 3$

Etapa 5.3.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x - 3}{2})}^{2}} + 3$

Etapa 5.3.4.3

Aplique a regra do produto a $\frac{x - 3}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{{(x - 3)}^{2}}{2^{2}}} + 3$

Etapa 5.3.4.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{{(x - 3)}^{2}}{4}} + 3$

Etapa 5.3.4.5

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{{(x - 3)}^{2}}{2^{2}}} + 3$

Etapa 5.3.4.6

Reescreva $\frac{{(x - 3)}^{2}}{2^{2}}$ como ${(\frac{x - 3}{2})}^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x - 3}{2})}^{2}} + 3$

Etapa 5.3.4.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 (\frac{x - 3}{2}) + 3$

Etapa 5.3.4.8

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.8.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 (\frac{x - 3}{2}) + 3$

Etapa 5.3.4.8.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = x - 3 + 3$

Etapa 5.3.5

Combine os termos opostos em $x - 3 + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Some $- 3$ e $3$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = x + 0$

Etapa 5.3.5.2

Some $x$ e $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$ é o inverso de $f (x) = 2 \sqrt{x} + 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$