Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 16 - {(- x)}^{2}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 16 - {(- x)}^{2}$ como uma equação.

$y = 16 - {(- x)}^{2}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 16 - {(- y)}^{2}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $16 - {(- y)}^{2} = x$ .

$16 - {(- y)}^{2} = x$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Aplique a regra do produto a $- y$ .

$16 - ({(- 1)}^{2} y^{2}) = x$

Etapa 3.2.2

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.2.1

Mova ${(- 1)}^{2}$ .

$16 + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 y^{2} = x$

Etapa 3.2.2.2

Multiplique ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

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Etapa 3.2.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$16 + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} y^{2} = x$

Etapa 3.2.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$16 + {(- 1)}^{2 + 1} y^{2} = x$

Etapa 3.2.2.3

Some $2$ e $1$ .

$16 + {(- 1)}^{3} y^{2} = x$

Etapa 3.2.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$16 - y^{2} = x$

Etapa 3.3

Subtraia $16$ dos dois lados da equação.

$- y^{2} = x - 16$

Etapa 3.4

Divida cada termo em $- y^{2} = x - 16$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.4.1

Divida cada termo em $- y^{2} = x - 16$ por $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 3.4.2.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 3.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{x}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot x + \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 3.4.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot x$ como $- x$ .

$y^{2} = - x + \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 3.4.3.1.3

Divida $- 16$ por $- 1$ .

$y^{2} = - x + 16$

Etapa 3.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- x + 16}$

Etapa 3.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{- x + 16}$

Etapa 3.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{- x + 16}$

Etapa 3.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{- x + 16}$

$y = - \sqrt{- x + 16}$

$y = \sqrt{- x + 16}$

$y = - \sqrt{- x + 16}$

$y = \sqrt{- x + 16}$

$y = - \sqrt{- x + 16}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{- x + 16}, - \sqrt{- x + 16}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \sqrt{- x + 16}, - \sqrt{- x + 16}$ é o inverso de $f (x) = 16 - {(- x)}^{2}$ .

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Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = 16 - {(- x)}^{2}$ e $f^{- 1} (x) = \sqrt{- x + 16}, - \sqrt{- x + 16}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (x) = 16 - {(- x)}^{2}$ .

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Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 16]$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $\sqrt{- x + 16}$ .

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Etapa 5.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{- x + 16}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$- x + 16 \geq 0$

Etapa 5.3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.3.2.1

Subtraia $16$ dos dois lados da desigualdade.

$- x \geq - 16$

Etapa 5.3.2.2

Divida cada termo em $- x \geq - 16$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 5.3.2.2.1

Divida cada termo em $- x \geq - 16$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 5.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 5.3.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{- 16}{- 1}$

Etapa 5.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.2.3.1

Divida $- 16$ por $- 1$ .

$x \leq 16$

Etapa 5.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 16]$

Etapa 5.4

Encontre o domínio de $f (x) = 16 - {(- x)}^{2}$ .

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Etapa 5.4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 5.5

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \sqrt{- x + 16}, - \sqrt{- x + 16}$ é o intervalo de $f (x) = 16 - {(- x)}^{2}$ , e o intervalo de $f^{- 1} (x) = \sqrt{- x + 16}, - \sqrt{- x + 16}$ é o domínio de $f (x) = 16 - {(- x)}^{2}$ , então, $f^{- 1} (x) = \sqrt{- x + 16}, - \sqrt{- x + 16}$ é o inverso de $f (x) = 16 - {(- x)}^{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt{- x + 16}, - \sqrt{- x + 16}$

Etapa 6