Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 4 \log_{3} (x)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 4 \log_{3} (x)$ como uma equação.

$y = 4 \log_{3} (x)$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 4 \log_{3} (y)$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $4 \log_{3} (y) = x$ .

$4 \log_{3} (y) = x$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $4 \log_{3} (y) = x$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $4 \log_{3} (y) = x$ por $4$ .

$\frac{4 \log_{3} (y)}{4} = \frac{x}{4}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \log_{3} (y)}{4} = \frac{x}{4}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida $\log_{3} (y)$ por $1$ .

$\log_{3} (y) = \frac{x}{4}$

Etapa 3.3

Reescreva $\log_{3} (y) = \frac{x}{4}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{\frac{x}{4}} = y$

Etapa 3.4

Reescreva a equação como $y = 3^{\frac{x}{4}}$ .

$y = 3^{\frac{x}{4}}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = 3^{\frac{x}{4}}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = 3^{\frac{x}{4}}$ é o inverso de $f (x) = 4 \log_{3} (x)$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (4 \log_{3} (x))$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (4 \log_{3} (x)) = 3^{\frac{4 \log_{3} (x)}{4}}$

Etapa 5.2.3

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.2.3.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (4 \log_{3} (x)) = 3^{\frac{4 \log_{3} (x)}{4}}$

Etapa 5.2.3.2

Divida $\log_{3} (x)$ por $1$ .

$f^{- 1} (4 \log_{3} (x)) = 3^{\log_{3} (x)}$

Etapa 5.2.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f^{- 1} (4 \log_{3} (x)) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (3^{\frac{x}{4}})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (3^{\frac{x}{4}}) = 4 \log_{3} (3^{\frac{x}{4}})$

Etapa 5.3.3

Use as regras logarítmicas para mover $\frac{x}{4}$ para fora do expoente.

$f (3^{\frac{x}{4}}) = 4 (\frac{x}{4} \cdot \log_{3} (3))$

Etapa 5.3.4

A base do logaritmo $3$ de $3$ é $1$ .

$f (3^{\frac{x}{4}}) = 4 (\frac{x}{4} \cdot 1)$

Etapa 5.3.5

Multiplique $\frac{x}{4}$ por $1$ .

$f (3^{\frac{x}{4}}) = 4 (\frac{x}{4})$

Etapa 5.3.6

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.3.6.1

Cancele o fator comum.

$f (3^{\frac{x}{4}}) = 4 (\frac{x}{4})$

Etapa 5.3.6.2

Reescreva a expressão.

$f (3^{\frac{x}{4}}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = 3^{\frac{x}{4}}$ é o inverso de $f (x) = 4 \log_{3} (x)$ .

$f^{- 1} (x) = 3^{\frac{x}{4}}$