Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \ln (\ln (x))$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \ln (\ln (x))$ como uma equação.

$y = \ln (\ln (x))$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \ln (\ln (y))$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\ln (\ln (y)) = x$ .

$\ln (\ln (y)) = x$

Etapa 3.2

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\ln (y))} = e^{x}$

Etapa 3.3

Reescreva $\ln (\ln (y)) = x$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x} = \ln (y)$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

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Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $\ln (y) = e^{x}$ .

$\ln (y) = e^{x}$

Etapa 3.4.2

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (y)} = e^{e^{x}}$

Etapa 3.4.3

Reescreva $\ln (y) = e^{x}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{e^{x}} = y$

Etapa 3.4.4

Reescreva a equação como $y = e^{e^{x}}$ .

$y = e^{e^{x}}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = e^{e^{x}}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = e^{e^{x}}$ é o inverso de $f (x) = \ln (\ln (x))$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\ln (\ln (x)))$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (\ln (x))) = e^{e^{\ln (\ln (x))}}$

Etapa 5.2.3

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f^{- 1} (\ln (\ln (x))) = e^{\ln (x)}$

Etapa 5.2.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f^{- 1} (\ln (\ln (x))) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (e^{e^{x}})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (e^{e^{x}}) = \ln (\ln (e^{e^{x}}))$

Etapa 5.3.3

Use as regras logarítmicas para mover $e^{x}$ para fora do expoente.

$f (e^{e^{x}}) = \ln (e^{x} \ln (e))$

Etapa 5.3.4

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f (e^{e^{x}}) = \ln (e^{x} \cdot 1)$

Etapa 5.3.5

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$f (e^{e^{x}}) = \ln (e^{x})$

Etapa 5.3.6

Use as regras logarítmicas para mover $x$ para fora do expoente.

$f (e^{e^{x}}) = x \ln (e)$

Etapa 5.3.7

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f (e^{e^{x}}) = x \cdot 1$

Etapa 5.3.8

Multiplique $x$ por $1$ .

$f (e^{e^{x}}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = e^{e^{x}}$ é o inverso de $f (x) = \ln (\ln (x))$ .

$f^{- 1} (x) = e^{e^{x}}$