Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ como uma equação.

$y = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2} = x$ .

$500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2} = x$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2} = x$ por $500$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2} = x$ por $500$ .

$\frac{500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2}}{500} = \frac{x}{500}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $500$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2}}{500} = \frac{x}{500}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida ${(1 - \frac{y}{50})}^{2}$ por $1$ .

${(1 - \frac{y}{50})}^{2} = \frac{x}{500}$

Etapa 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \sqrt{\frac{x}{500}}$

Etapa 3.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{x}{500}}$ .

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Etapa 3.4.1

Reescreva $\frac{x}{500}$ como ${(\frac{1}{10})}^{2} \frac{x}{5}$ .

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Etapa 3.4.1.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $x$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \sqrt{\frac{1^{2} x}{500}}$

Etapa 3.4.1.2

Fatore a potência perfeita $10^{2}$ de $500$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \sqrt{\frac{1^{2} x}{10^{2} \cdot 5}}$

Etapa 3.4.1.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} x}{10^{2} \cdot 5}$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \sqrt{{(\frac{1}{10})}^{2} \frac{x}{5}}$

Etapa 3.4.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \sqrt{\frac{x}{5}}$

Etapa 3.4.3

Reescreva $\sqrt{\frac{x}{5}}$ como $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}}$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}}$

Etapa 3.4.4

Multiplique $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Etapa 3.4.5

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.5.1

Multiplique $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 3.4.5.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Etapa 3.4.5.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Etapa 3.4.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.4.5.5

Some $1$ e $1$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Etapa 3.4.5.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Etapa 3.4.5.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.4.5.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.4.5.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.4.5.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.5.6.4.1

Cancele o fator comum.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.4.5.6.4.2

Reescreva a expressão.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Etapa 3.4.5.6.5

Avalie o expoente.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{5}$

Etapa 3.4.6

Combine usando a regra do produto para radicais.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x \cdot 5}}{5}$

Etapa 3.4.7

Multiplique $\frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x \cdot 5}}{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.7.1

Multiplique $\frac{1}{10}$ por $\frac{\sqrt{x \cdot 5}}{5}$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{\sqrt{x \cdot 5}}{10 \cdot 5}$

Etapa 3.4.7.2

Multiplique $10$ por $5$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{\sqrt{x \cdot 5}}{50}$

Etapa 3.4.8

Reordene os fatores em $\pm \frac{\sqrt{x \cdot 5}}{50}$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{\sqrt{5 x}}{50}$

Etapa 3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$1 - \frac{y}{50} = \frac{\sqrt{5 x}}{50}$

Etapa 3.5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \frac{y}{50} = \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1$

Etapa 3.5.3

Multiplique os dois lados da equação por $- 50$ .

$- 50 (- \frac{y}{50}) = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Etapa 3.5.4

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1.1

Simplifique $- 50 (- \frac{y}{50})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1.1.1

Cancele o fator comum de $50$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{y}{50}$ para o numerador.

$- 50 \frac{- y}{50} = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Etapa 3.5.4.1.1.1.2

Fatore $50$ de $- 50$ .

$50 (- 1) \frac{- y}{50} = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Etapa 3.5.4.1.1.1.3

Cancele o fator comum.

$50 \cdot - 1 \frac{- y}{50} = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Etapa 3.5.4.1.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- - y = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Etapa 3.5.4.1.1.2

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 y = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Etapa 3.5.4.1.1.2.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$y = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Etapa 3.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.2.1

Simplifique $- 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - 50 \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 50 \cdot - 1$

Etapa 3.5.4.2.1.2

Cancele o fator comum de $50$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.2.1.2.1

Fatore $50$ de $- 50$ .

$y = 50 (- 1) \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 50 \cdot - 1$

Etapa 3.5.4.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = 50 \cdot - 1 \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 50 \cdot - 1$

Etapa 3.5.4.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = - \sqrt{5 x} - 50 \cdot - 1$

Etapa 3.5.4.2.1.3

Multiplique $- 50$ por $- 1$ .

$y = - \sqrt{5 x} + 50$

Etapa 3.5.5

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$1 - \frac{y}{50} = - \frac{\sqrt{5 x}}{50}$

Etapa 3.5.6

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \frac{y}{50} = - \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1$

Etapa 3.5.7

Multiplique os dois lados da equação por $- 50$ .

$- 50 (- \frac{y}{50}) = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Etapa 3.5.8

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.8.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.8.1.1

Simplifique $- 50 (- \frac{y}{50})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.8.1.1.1

Cancele o fator comum de $50$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.8.1.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{y}{50}$ para o numerador.

$- 50 \frac{- y}{50} = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Etapa 3.5.8.1.1.1.2

Fatore $50$ de $- 50$ .

$50 (- 1) \frac{- y}{50} = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Etapa 3.5.8.1.1.1.3

Cancele o fator comum.

$50 \cdot - 1 \frac{- y}{50} = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Etapa 3.5.8.1.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- - y = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Etapa 3.5.8.1.1.2

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.8.1.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 y = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Etapa 3.5.8.1.1.2.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$y = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Etapa 3.5.8.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.8.2.1

Simplifique $- 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.8.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50}) - 50 \cdot - 1$

Etapa 3.5.8.2.1.2

Cancele o fator comum de $50$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.8.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{5 x}}{50}$ para o numerador.

$y = - 50 \frac{- \sqrt{5 x}}{50} - 50 \cdot - 1$

Etapa 3.5.8.2.1.2.2

Fatore $50$ de $- 50$ .

$y = 50 (- 1) \frac{- \sqrt{5 x}}{50} - 50 \cdot - 1$

Etapa 3.5.8.2.1.2.3

Cancele o fator comum.

$y = 50 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{5 x}}{50} - 50 \cdot - 1$

Etapa 3.5.8.2.1.2.4

Reescreva a expressão.

$y = - - \sqrt{5 x} - 50 \cdot - 1$

Etapa 3.5.8.2.1.3

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.8.2.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = 1 \sqrt{5 x} - 50 \cdot - 1$

Etapa 3.5.8.2.1.3.2

Multiplique $\sqrt{5 x}$ por $1$ .

$y = \sqrt{5 x} - 50 \cdot - 1$

Etapa 3.5.8.2.1.3.3

Multiplique $- 50$ por $- 1$ .

$y = \sqrt{5 x} + 50$

Etapa 3.5.9

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = - \sqrt{5 x} + 50$

$y = \sqrt{5 x} + 50$

$y = - \sqrt{5 x} + 50$

$y = \sqrt{5 x} + 50$

$y = - \sqrt{5 x} + 50$

$y = \sqrt{5 x} + 50$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$ é o inverso de $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ .

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Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ e $f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ .

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Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[0, \infty)$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $- \sqrt{5 x} + 50$ .

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Etapa 5.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{5 x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$5 x \geq 0$

Etapa 5.3.2

Divida cada termo em $5 x \geq 0$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 5.3.2.1

Divida cada termo em $5 x \geq 0$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} \geq \frac{0}{5}$

Etapa 5.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x}{5} \geq \frac{0}{5}$

Etapa 5.3.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{0}{5}$

Etapa 5.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.3.1

Divida $0$ por $5$ .

$x \geq 0$

Etapa 5.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[0, \infty)$

Etapa 5.4

Encontre o domínio de $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ .

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Etapa 5.4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 5.5

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$ é o intervalo de $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ , e o intervalo de $f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$ é o domínio de $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ , então, $f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$ é o inverso de $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ .

$f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$

Etapa 6