Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{3}{x - 1} + 2$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{3}{x - 1} + 2$ como uma equação.

$y = \frac{3}{x - 1} + 2$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{3}{y - 1} + 2$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{3}{y - 1} + 2 = x$ .

$\frac{3}{y - 1} + 2 = x$

Etapa 3.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$\frac{3}{y - 1} = x - 2$

Etapa 3.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y - 1, 1, 1$

Etapa 3.3.2

Remova os parênteses.

$y - 1, 1, 1$

Etapa 3.3.3

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$y - 1$

Etapa 3.4

Multiplique cada termo em $\frac{3}{y - 1} = x - 2$ por $y - 1$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Multiplique cada termo em $\frac{3}{y - 1} = x - 2$ por $y - 1$ .

$\frac{3}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) - 2 (y - 1)$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Cancele o fator comum de $y - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) - 2 (y - 1)$

Etapa 3.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$3 = x (y - 1) - 2 (y - 1)$

Etapa 3.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 = x y + x \cdot - 1 - 2 (y - 1)$

Etapa 3.4.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$3 = x y - 1 \cdot x - 2 (y - 1)$

Etapa 3.4.3.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$3 = x y - x - 2 (y - 1)$

Etapa 3.4.3.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$3 = x y - x - 2 y - 2 \cdot - 1$

Etapa 3.4.3.1.5

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$3 = x y - x - 2 y + 2$

Etapa 3.5

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $x y - x - 2 y + 2 = 3$ .

$x y - x - 2 y + 2 = 3$

Etapa 3.5.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Some $x$ aos dois lados da equação.

$x y - 2 y + 2 = 3 + x$

Etapa 3.5.2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x y - 2 y = 3 + x - 2$

Etapa 3.5.2.3

Subtraia $2$ de $3$ .

$x y - 2 y = x + 1$

Etapa 3.5.3

Fatore $y$ de $x y - 2 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1

Fatore $y$ de $x y$ .

$y x - 2 y = x + 1$

Etapa 3.5.3.2

Fatore $y$ de $- 2 y$ .

$y x + y \cdot - 2 = x + 1$

Etapa 3.5.3.3

Fatore $y$ de $y x + y \cdot - 2$ .

$y (x - 2) = x + 1$

Etapa 3.5.4

Divida cada termo em $y (x - 2) = x + 1$ por $x - 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1

Divida cada termo em $y (x - 2) = x + 1$ por $x - 2$ .

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{x}{x - 2} + \frac{1}{x - 2}$

Etapa 3.5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.2.1

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{x}{x - 2} + \frac{1}{x - 2}$

Etapa 3.5.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x}{x - 2} + \frac{1}{x - 2}$

Etapa 3.5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{x + 1}{x - 2}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 2}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ é o inverso de $f (x) = \frac{3}{x - 1} + 2$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2)$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{(\frac{3}{x - 1} + 2) + 1}{(\frac{3}{x - 1} + 2) - 2}$

Etapa 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

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Etapa 5.2.3.1

Multiplique $\frac{\frac{3}{x - 1} + 2 + 1}{\frac{3}{x - 1} + 2 - 2}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{3}{x - 1} + 2 + 1}{\frac{3}{x - 1} + 2 - 2}$

Etapa 5.2.3.2

Combine.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{(x - 1) (\frac{3}{x - 1} + 2 + 1)}{(x - 1) (\frac{3}{x - 1} + 2 - 2)}$

Etapa 5.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{(x - 1) (\frac{3}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{3}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Etapa 5.2.5

Simplifique cancelando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.1

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.1.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{(x - 1) (\frac{3}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{3}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Etapa 5.2.5.1.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{3}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Etapa 5.2.5.2

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{3}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Etapa 5.2.5.2.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot 1}{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Etapa 5.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.6.1

Reordene $x - 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 + 2 \cdot (x - 1) + 1 \cdot (x - 1)}{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Etapa 5.2.6.2

Some $2 \cdot (x - 1)$ e $1 \cdot (x - 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 + 3 \cdot (x - 1)}{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Etapa 5.2.6.3

Fatore $3$ de $3 + 3 \cdot (x - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.3.1

Fatore $3$ de $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 \cdot 1 + 3 \cdot (x - 1)}{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Etapa 5.2.6.3.2

Fatore $3$ de $3 \cdot 1 + 3 \cdot (x - 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 (1 + x - 1)}{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Etapa 5.2.6.4

Subtraia $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 (x + 0)}{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Etapa 5.2.6.5

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Etapa 5.2.7

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3 + x \cdot 2 - 1 \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Etapa 5.2.7.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3 + 2 \cdot x - 1 \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Etapa 5.2.7.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3 + 2 \cdot x - 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Etapa 5.2.7.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3 + 2 x - 2 + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2}$

Etapa 5.2.7.5

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3 + 2 x - 2 - 2 \cdot x - 1 \cdot - 2}$

Etapa 5.2.7.6

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3 + 2 x - 2 - 2 \cdot x + 2}$

Etapa 5.2.7.7

Subtraia $2$ de $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{2 x + 1 - 2 x + 2}$

Etapa 5.2.7.8

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{0 + 1 + 2}$

Etapa 5.2.7.9

Some $0$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{1 + 2}$

Etapa 5.2.7.10

Some $1$ e $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3}$

Etapa 5.2.8

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.8.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3}$

Etapa 5.2.8.2

Divida $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{x + 1}{x - 2})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{(\frac{x + 1}{x - 2}) - 1} + 2$

Etapa 5.3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{x + 1}{x - 2} - 1 \cdot \frac{x - 2}{x - 2}} + 2$

Etapa 5.3.3.1.2

Combine $- 1$ e $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{x + 1}{x - 2} + \frac{- (x - 2)}{x - 2}} + 2$

Etapa 5.3.3.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{x + 1 - (x - 2)}{x - 2}} + 2$

Etapa 5.3.3.1.4

Reescreva $\frac{x + 1 - (x - 2)}{x - 2}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{x + 1 - x + 2}{x - 2}} + 2$

Etapa 5.3.3.1.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{x + 1 - x + 2}{x - 2}} + 2$

Etapa 5.3.3.1.4.3

Subtraia $x$ de $x$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{0 + 1 + 2}{x - 2}} + 2$

Etapa 5.3.3.1.4.4

Some $0$ e $1$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{1 + 2}{x - 2}} + 2$

Etapa 5.3.3.1.4.5

Some $1$ e $2$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{3}{x - 2}} + 2$

Etapa 5.3.3.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = 3 (\frac{x - 2}{3}) + 2$

Etapa 5.3.3.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.3.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = 3 (\frac{x - 2}{3}) + 2$

Etapa 5.3.3.3.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = x - 2 + 2$

Etapa 5.3.4

Combine os termos opostos em $x - 2 + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Some $- 2$ e $2$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = x + 0$

Etapa 5.3.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ é o inverso de $f (x) = \frac{3}{x - 1} + 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 2}$