Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{3 x + 1}{x - 2}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{3 x + 1}{x - 2}$ como uma equação.

$y = \frac{3 x + 1}{x - 2}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{3 y + 1}{y - 2}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique a equação por $y - 2$ .

$(y - 2) (x) = (\frac{3 y + 1}{y - 2}) (y - 2)$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y x - 2 x = (\frac{3 y + 1}{y - 2}) (y - 2)$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum de $y - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y x - 2 x = \frac{3 y + 1}{y - 2} (y - 2)$

Etapa 3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y x - 2 x = 3 y + 1$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Subtraia $3 y$ dos dois lados da equação.

$y x - 2 x - 3 y = 1$

Etapa 3.4.2

Some $2 x$ aos dois lados da equação.

$y x - 3 y = 1 + 2 x$

Etapa 3.4.3

Fatore $y$ de $y x - 3 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Fatore $y$ de $y x$ .

$y (x) - 3 y = 1 + 2 x$

Etapa 3.4.3.2

Fatore $y$ de $- 3 y$ .

$y (x) + y \cdot - 3 = 1 + 2 x$

Etapa 3.4.3.3

Fatore $y$ de $y (x) + y \cdot - 3$ .

$y (x - 3) = 1 + 2 x$

Etapa 3.4.4

Divida cada termo em $y (x - 3) = 1 + 2 x$ por $x - 3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1

Divida cada termo em $y (x - 3) = 1 + 2 x$ por $x - 3$ .

$\frac{y (x - 3)}{x - 3} = \frac{1}{x - 3} + \frac{2 x}{x - 3}$

Etapa 3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $x - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (x - 3)}{x - 3} = \frac{1}{x - 3} + \frac{2 x}{x - 3}$

Etapa 3.4.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{1}{x - 3} + \frac{2 x}{x - 3}$

Etapa 3.4.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{1 + 2 x}{x - 3}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + 2 x}{x - 3}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{1 + 2 x}{x - 3}$ é o inverso de $f (x) = \frac{3 x + 1}{x - 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{1 + 2 (\frac{3 x + 1}{x - 2})}{(\frac{3 x + 1}{x - 2}) - 3}$

Etapa 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Multiplique $\frac{1 + 2 \frac{3 x + 1}{x - 2}}{\frac{3 x + 1}{x - 2} - 3}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{x - 2}{x - 2} \cdot \frac{1 + 2 (\frac{3 x + 1}{x - 2})}{\frac{3 x + 1}{x - 2} - 3}$

Etapa 5.2.3.2

Combine.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (1 + 2 (\frac{3 x + 1}{x - 2}))}{(x - 2) (\frac{3 x + 1}{x - 2} - 3)}$

Etapa 5.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) \cdot 1 + (x - 2) (2 (\frac{3 x + 1}{x - 2}))}{(x - 2) (\frac{3 x + 1}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 3}$

Etapa 5.2.5

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) \cdot 1 + (x - 2) (2 (\frac{3 x + 1}{x - 2}))}{(x - 2) (\frac{3 x + 1}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 3}$

Etapa 5.2.5.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) \cdot 1 + (x - 2) (2 (\frac{3 x + 1}{x - 2}))}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

Etapa 5.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.1

Fatore $x - 2$ de $(x - 2) \cdot 1 + (x - 2) \cdot 2 \frac{3 x + 1}{x - 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.1.1

Fatore $x - 2$ de $(x - 2) \cdot 1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (1) + (x - 2) (2 (\frac{3 x + 1}{x - 2}))}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

Etapa 5.2.6.1.2

Fatore $x - 2$ de $(x - 2) (1) + (x - 2) (2 \frac{3 x + 1}{x - 2})$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (1 + 2 (\frac{3 x + 1}{x - 2}))}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

Etapa 5.2.6.2

Combine $2$ e $\frac{3 x + 1}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (1 + \frac{2 (3 x + 1)}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

Etapa 5.2.6.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x - 2}{x - 2} + \frac{2 (3 x + 1)}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

Etapa 5.2.6.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x - 2 + 2 (3 x + 1)}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

Etapa 5.2.6.5

Reordene os termos.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 2 (3 x + 1) - 2}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

Etapa 5.2.6.6

Reescreva $\frac{x + 2 (3 x + 1) - 2}{x - 2}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 2 (3 x) + 2 \cdot 1 - 2}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

Etapa 5.2.6.6.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 6 x + 2 \cdot 1 - 2}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

Etapa 5.2.6.6.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 6 x + 2 - 2}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

Etapa 5.2.6.6.4

Some $x$ e $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x + 2 - 2}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

Etapa 5.2.6.6.5

Subtraia $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x + 0}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

Etapa 5.2.6.6.6

Some $7 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

Etapa 5.2.7

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x}{x - 2})}{3 x + 1 + x \cdot - 3 - 2 \cdot - 3}$

Etapa 5.2.7.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x}{x - 2})}{3 x + 1 - 3 \cdot x - 2 \cdot - 3}$

Etapa 5.2.7.3

Multiplique $- 2$ por $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x}{x - 2})}{3 x + 1 - 3 \cdot x + 6}$

Etapa 5.2.7.4

Subtraia $3 x$ de $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x}{x - 2})}{0 + 1 + 6}$

Etapa 5.2.7.5

Some $0$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x}{x - 2})}{1 + 6}$

Etapa 5.2.7.6

Some $1$ e $6$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x}{x - 2})}{7}$

Etapa 5.2.8

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.8.1

Fatore $\frac{7 x}{x - 2}$ de $\frac{(x - 2) \frac{7 x}{x - 2}}{7}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{7 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{7}$

Etapa 5.2.8.2

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.8.2.1

Fatore $7$ de $7 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{7 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{7}$

Etapa 5.2.8.2.2

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{7 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{7}$

Etapa 5.2.8.2.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Etapa 5.2.8.3

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.8.3.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Etapa 5.2.8.3.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{1 + 2 x}{x - 3})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) + 1}{(\frac{1 + 2 x}{x - 3}) - 2}$

Etapa 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Multiplique $\frac{3 \frac{1 + 2 x}{x - 3} + 1}{\frac{1 + 2 x}{x - 3} - 2}$ por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{x - 3}{x - 3} \cdot \frac{3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) + 1}{\frac{1 + 2 x}{x - 3} - 2}$

Etapa 5.3.3.2

Combine.

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) + 1)}{(x - 3) (\frac{1 + 2 x}{x - 3} - 2)}$

Etapa 5.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3})) + (x - 3) \cdot 1}{(x - 3) (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) + (x - 3) \cdot - 2}$

Etapa 5.3.5

Cancele o fator comum de $x - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3})) + (x - 3) \cdot 1}{(x - 3) (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) + (x - 3) \cdot - 2}$

Etapa 5.3.5.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3})) + (x - 3) \cdot 1}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

Etapa 5.3.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.6.1

Fatore $x - 3$ de $(x - 3) \cdot 3 \frac{1 + 2 x}{x - 3} + (x - 3) \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.6.1.1

Fatore $x - 3$ de $(x - 3) \cdot 3 \frac{1 + 2 x}{x - 3}$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3})) + (x - 3) \cdot 1}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

Etapa 5.3.6.1.2

Fatore $x - 3$ de $(x - 3) \cdot 1$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3})) + (x - 3) (1)}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

Etapa 5.3.6.1.3

Fatore $x - 3$ de $(x - 3) (3 \frac{1 + 2 x}{x - 3}) + (x - 3) (1)$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) + 1)}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

Etapa 5.3.6.2

Combine $3$ e $\frac{1 + 2 x}{x - 3}$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 (1 + 2 x)}{x - 3} + 1)}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

Etapa 5.3.6.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 (1 + 2 x)}{x - 3} + \frac{x - 3}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

Etapa 5.3.6.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 (1 + 2 x) + x - 3}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

Etapa 5.3.6.5

Reordene os termos.

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{x + 3 (1 + 2 x) - 3}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

Etapa 5.3.6.6

Reescreva $\frac{x + 3 (1 + 2 x) - 3}{x - 3}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.6.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{x + 3 \cdot 1 + 3 (2 x) - 3}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

Etapa 5.3.6.6.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{x + 3 + 3 (2 x) - 3}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

Etapa 5.3.6.6.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{x + 3 + 6 x - 3}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

Etapa 5.3.6.6.4

Some $x$ e $6 x$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x + 3 - 3}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

Etapa 5.3.6.6.5

Subtraia $3$ de $3$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x + 0}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

Etapa 5.3.6.6.6

Some $7 x$ e $0$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

Etapa 5.3.7

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x}{x - 3})}{1 + 2 x + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2}$

Etapa 5.3.7.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x}{x - 3})}{1 + 2 x - 2 \cdot x - 3 \cdot - 2}$

Etapa 5.3.7.3

Multiplique $- 3$ por $- 2$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x}{x - 3})}{1 + 2 x - 2 \cdot x + 6}$

Etapa 5.3.7.4

Some $1$ e $6$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x}{x - 3})}{2 x - 2 x + 7}$

Etapa 5.3.7.5

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x}{x - 3})}{0 + 7}$

Etapa 5.3.7.6

Some $0$ e $7$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x}{x - 3})}{7}$

Etapa 5.3.8

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.8.1

Fatore $\frac{7 x}{x - 3}$ de $\frac{(x - 3) \frac{7 x}{x - 3}}{7}$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{7 x}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{7}$

Etapa 5.3.8.2

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.8.2.1

Fatore $7$ de $7 x$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{7 (x)}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{7}$

Etapa 5.3.8.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{7 x}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{7}$

Etapa 5.3.8.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3)$

Etapa 5.3.8.3

Cancele o fator comum de $x - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.8.3.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3)$

Etapa 5.3.8.3.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{1 + 2 x}{x - 3}$ é o inverso de $f (x) = \frac{3 x + 1}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + 2 x}{x - 3}$