Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ como uma equação.

$y = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique a equação por $y^{2} + y - 2$ .

$(y^{2} + y - 2) (x) = (\frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}) (y^{2} + y - 2)$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} x + y x - 2 x = (\frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}) (y^{2} + y - 2)$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Simplifique $(\frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}) (y^{2} + y - 2)$ .

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Etapa 3.3.1.1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 3.3.1.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{y^{2} + 2 y + 1^{2}}{y^{2} + y - 2} (y^{2} + y - 2)$

Etapa 3.3.1.1.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 y = 2 \cdot y \cdot 1$

Etapa 3.3.1.1.3

Reescreva o polinômio.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{y^{2} + 2 \cdot y \cdot 1 + 1^{2}}{y^{2} + y - 2} (y^{2} + y - 2)$

Etapa 3.3.1.1.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = y$ e $b = 1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2}}{y^{2} + y - 2} (y^{2} + y - 2)$

Etapa 3.3.1.2

Fatore $y^{2} + y - 2$ usando o método AC.

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Etapa 3.3.1.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $1$ .

$- 1, 2$

Etapa 3.3.1.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2}}{(y - 1) (y + 2)} (y^{2} + y - 2)$

Etapa 3.3.1.3

Multiplique $\frac{{(y + 1)}^{2}}{(y - 1) (y + 2)}$ por $y^{2} + y - 2$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y^{2} + y - 2)}{(y - 1) (y + 2)}$

Etapa 3.3.1.4

Fatore $y^{2} + y - 2$ usando o método AC.

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Etapa 3.3.1.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $1$ .

$- 1, 2$

Etapa 3.3.1.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} ((y - 1) (y + 2))}{(y - 1) (y + 2)}$

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y - 1) (y + 2)}{(y - 1) (y + 2)}$

Etapa 3.3.1.5

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 3.3.1.5.1

Cancele o fator comum de $y - 1$ .

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Etapa 3.3.1.5.1.1

Cancele o fator comum.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y - 1) (y + 2)}{(y - 1) (y + 2)}$

Etapa 3.3.1.5.1.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y + 2)}{y + 2}$

Etapa 3.3.1.5.2

Cancele o fator comum de $y + 2$ .

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Etapa 3.3.1.5.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y + 2)}{y + 2}$

Etapa 3.3.1.5.2.2

Divida ${(y + 1)}^{2}$ por $1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = {(y + 1)}^{2}$

Etapa 3.3.1.5.3

Reescreva ${(y + 1)}^{2}$ como $(y + 1) (y + 1)$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = (y + 1) (y + 1)$

Etapa 3.3.1.6

Expanda $(y + 1) (y + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.3.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} x + y x - 2 x = y (y + 1) + 1 (y + 1)$

Etapa 3.3.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} x + y x - 2 x = y \cdot y + y \cdot 1 + 1 (y + 1)$

Etapa 3.3.1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} x + y x - 2 x = y \cdot y + y \cdot 1 + 1 y + 1 \cdot 1$

Etapa 3.3.1.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.3.1.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.7.1.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y \cdot 1 + 1 y + 1 \cdot 1$

Etapa 3.3.1.7.1.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y + 1 y + 1 \cdot 1$

Etapa 3.3.1.7.1.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y + y + 1 \cdot 1$

Etapa 3.3.1.7.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y + y + 1$

Etapa 3.3.1.7.2

Some $y$ e $y$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + 2 y + 1$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

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Etapa 3.4.1

Mova todos os termos que contêm $y$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.4.1.1

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$y^{2} x + y x - 2 x - y^{2} = 2 y + 1$

Etapa 3.4.1.2

Subtraia $2 y$ dos dois lados da equação.

$y^{2} x + y x - 2 x - y^{2} - 2 y = 1$

Etapa 3.4.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y^{2} x + y x - 2 x - y^{2} - 2 y - 1 = 0$

Etapa 3.4.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.4.4

Substitua os valores $a = x - 1$ , $b = x - 2$ e $c = - 2 x - 1$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{- (x - 2) \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot ((x - 1) \cdot (- 2 x - 1))}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.5.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.5.3

Reescreva ${(x - 2)}^{2}$ como $(x - 2) (x - 2)$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{(x - 2) (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.5.4

Expanda $(x - 2) (x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.4.5.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (x - 2) - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.5.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.5.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.5.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.4.5.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.5.5.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.5.5.1.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.5.5.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.5.5.2

Subtraia $2 x$ de $- 2 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.5.6

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x - 4 \cdot - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.5.7

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x + 4) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.5.8

Expanda $(- 4 x + 4) (- 2 x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.4.5.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x - 1) + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.5.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.5.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.5.9

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.4.5.9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.5.9.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.5.9.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.5.9.1.2.1

Mova $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.5.9.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x^{2}) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.5.9.1.3

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.5.9.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.5.9.1.5

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.5.9.1.6

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.5.9.2

Subtraia $8 x$ de $4 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.5.10

Some $x^{2}$ e $8 x^{2}$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.5.11

Subtraia $4 x$ de $- 4 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 4 - 4}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.5.12

Subtraia $4$ de $4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 0}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.5.13

Some $9 x^{2} - 8 x$ e $0$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.5.14

Fatore $x$ de $9 x^{2} - 8 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.5.14.1

Fatore $x$ de $9 x^{2}$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) - 8 x}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.5.14.2

Fatore $x$ de $- 8 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) + x \cdot - 8}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.5.14.3

Fatore $x$ de $x (9 x) + x \cdot - 8$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 3.4.6.1

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = \frac{- x + 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.6.2

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$y = \frac{- (x) + 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.6.3

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$y = \frac{- (x) - 1 \cdot - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.6.4

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$y = \frac{- (x - 2) + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.6.5

Fatore $- 1$ de $\sqrt{x (9 x - 8)}$ .

$y = \frac{- (x - 2) - 1 (- \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.6.6

Fatore $- 1$ de $- (x - 2) - 1 (- \sqrt{x (9 x - 8)})$ .

$y = \frac{- (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.6.7

Reescreva $- (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})$ como $- 1 (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})$ .

$y = \frac{- 1 (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.6.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 3.4.7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.7.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.7.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.7.1.3

Reescreva ${(x - 2)}^{2}$ como $(x - 2) (x - 2)$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{(x - 2) (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.7.1.4

Expanda $(x - 2) (x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.4.7.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (x - 2) - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.7.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.7.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.7.1.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.4.7.1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.7.1.5.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.7.1.5.1.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.7.1.5.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.7.1.5.2

Subtraia $2 x$ de $- 2 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.7.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x - 4 \cdot - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.7.1.7

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x + 4) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.7.1.8

Expanda $(- 4 x + 4) (- 2 x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.7.1.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x - 1) + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.7.1.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.7.1.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.7.1.9

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.4.7.1.9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.7.1.9.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.7.1.9.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.7.1.9.1.2.1

Mova $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.7.1.9.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x^{2}) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.7.1.9.1.3

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.7.1.9.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.7.1.9.1.5

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.7.1.9.1.6

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.7.1.9.2

Subtraia $8 x$ de $4 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.7.1.10

Some $x^{2}$ e $8 x^{2}$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.7.1.11

Subtraia $4 x$ de $- 4 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 4 - 4}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.7.1.12

Subtraia $4$ de $4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 0}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.7.1.13

Some $9 x^{2} - 8 x$ e $0$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.7.1.14

Fatore $x$ de $9 x^{2} - 8 x$ .

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Etapa 3.4.7.1.14.1

Fatore $x$ de $9 x^{2}$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) - 8 x}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.7.1.14.2

Fatore $x$ de $- 8 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) + x \cdot - 8}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.7.1.14.3

Fatore $x$ de $x (9 x) + x \cdot - 8$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.7.2

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = \frac{- x + 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.7.3

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$y = \frac{- (x) + 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.7.4

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$y = \frac{- (x) - 1 \cdot - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.7.5

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$y = \frac{- (x - 2) - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.7.6

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{x (9 x - 8)}$ .

$y = \frac{- (x - 2) - (\sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.7.7

Fatore $- 1$ de $- (x - 2) - (\sqrt{x (9 x - 8)})$ .

$y = \frac{- (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.7.8

Reescreva $- (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})$ como $- 1 (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})$ .

$y = \frac{- 1 (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.7.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Etapa 3.4.8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ .

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Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ e $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ .

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Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0] \cup [\frac{8}{9}, \infty)$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $- \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ .

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Etapa 5.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{x (9 x - 8)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x (9 x - 8) \geq 0$

Etapa 5.3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.3.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$9 x - 8 = 0$

Etapa 5.3.2.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.3.2.3

Defina $9 x - 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.3.2.3.1

Defina $9 x - 8$ como igual a $0$ .

$9 x - 8 = 0$

Etapa 5.3.2.3.2

Resolva $9 x - 8 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.3.2.3.2.1

Some $8$ aos dois lados da equação.

$9 x = 8$

Etapa 5.3.2.3.2.2

Divida cada termo em $9 x = 8$ por $9$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.3.2.2.1

Divida cada termo em $9 x = 8$ por $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{8}{9}$

Etapa 5.3.2.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 x}{9} = \frac{8}{9}$

Etapa 5.3.2.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{8}{9}$

Etapa 5.3.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $x (9 x - 8) \geq 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{8}{9}$

Etapa 5.3.2.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < \frac{8}{9}$

$x > \frac{8}{9}$

Etapa 5.3.2.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.6.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 5.3.2.6.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$(- 2) (9 (- 2) - 8) \geq 0$

Etapa 5.3.2.6.1.3

O lado esquerdo $52$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 5.3.2.6.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < \frac{8}{9}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.3.2.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < \frac{8}{9}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0.44$

Etapa 5.3.2.6.2.2

Substitua $x$ por $0.44$ na desigualdade original.

$(0.44) (9 (0.44) - 8) \geq 0$

Etapa 5.3.2.6.2.3

O lado esquerdo $- 1.7776$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 5.3.2.6.3

Teste um valor no intervalo $x > \frac{8}{9}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 5.3.2.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{8}{9}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 5.3.2.6.3.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$(3) (9 (3) - 8) \geq 0$

Etapa 5.3.2.6.3.3

O lado esquerdo $57$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 5.3.2.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < \frac{8}{9}$ Falso

$x > \frac{8}{9}$ Verdadeiro

$x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < \frac{8}{9}$ Falso

$x > \frac{8}{9}$ Verdadeiro

Etapa 5.3.2.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq 0$ ou $x \geq \frac{8}{9}$

Etapa 5.3.3

Defina o denominador em $\frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 (x - 1) = 0$

Etapa 5.3.4

Resolva $x$ .

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Etapa 5.3.4.1

Divida cada termo em $2 (x - 1) = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.3.4.1.1

Divida cada termo em $2 (x - 1) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 5.3.4.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.4.1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 5.3.4.1.2.1.2

Divida $x - 1$ por $1$ .

$x - 1 = \frac{0}{2}$

Etapa 5.3.4.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.4.1.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 5.3.4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 5.3.5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0] \cup [\frac{8}{9}, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 5.4

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ não é igual ao intervalo de $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ , então, $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ não é um inverso de $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ .

Não há inverso

Etapa 6