Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x - 7}{x + 7}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{x - 7}{x + 7}$ como uma equação.

$y = \frac{x - 7}{x + 7}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{y - 7}{y + 7}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{y - 7}{y + 7} = x$ .

$\frac{y - 7}{y + 7} = x$

Etapa 3.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y + 7, 1$

Etapa 3.2.2

Remova os parênteses.

$y + 7, 1$

Etapa 3.2.3

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$y + 7$

Etapa 3.3

Multiplique cada termo em $\frac{y - 7}{y + 7} = x$ por $y + 7$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{y - 7}{y + 7} = x$ por $y + 7$ .

$\frac{y - 7}{y + 7} (y + 7) = x (y + 7)$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $y + 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y - 7}{y + 7} (y + 7) = x (y + 7)$

Etapa 3.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$y - 7 = x (y + 7)$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 7 = x y + x \cdot 7$

Etapa 3.3.3.2

Mova $7$ para a esquerda de $x$ .

$y - 7 = x y + 7 x$

Etapa 3.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Subtraia $x y$ dos dois lados da equação.

$y - 7 - x y = 7 x$

Etapa 3.4.2

Some $7$ aos dois lados da equação.

$y - x y = 7 x + 7$

Etapa 3.4.3

Fatore $y$ de $y - x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - x y = 7 x + 7$

Etapa 3.4.3.2

Fatore $y$ de $- x y$ .

$y \cdot 1 + y (- x) = 7 x + 7$

Etapa 3.4.3.3

Fatore $y$ de $y \cdot 1 + y (- x)$ .

$y (1 - x) = 7 x + 7$

Etapa 3.4.4

Divida cada termo em $y (1 - x) = 7 x + 7$ por $1 - x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1

Divida cada termo em $y (1 - x) = 7 x + 7$ por $1 - x$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{7 x}{1 - x} + \frac{7}{1 - x}$

Etapa 3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $1 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{7 x}{1 - x} + \frac{7}{1 - x}$

Etapa 3.4.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{7 x}{1 - x} + \frac{7}{1 - x}$

Etapa 3.4.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{7 x + 7}{1 - x}$

Etapa 3.4.4.3.2

Fatore $7$ de $7 x + 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.3.2.1

Fatore $7$ de $7 x$ .

$y = \frac{7 (x) + 7}{1 - x}$

Etapa 3.4.4.3.2.2

Fatore $7$ de $7$ .

$y = \frac{7 (x) + 7 (1)}{1 - x}$

Etapa 3.4.4.3.2.3

Fatore $7$ de $7 (x) + 7 (1)$ .

$y = \frac{7 (x + 1)}{1 - x}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{7 (x + 1)}{1 - x}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{7 (x + 1)}{1 - x}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x - 7}{x + 7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 ((\frac{x - 7}{x + 7}) + 1)}{1 - (\frac{x - 7}{x + 7})}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{x - 7}{x + 7} + \frac{x + 7}{x + 7})}{1 - \frac{x - 7}{x + 7}}$

Etapa 5.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{x - 7 + x + 7}{x + 7})}{1 - \frac{x - 7}{x + 7}}$

Etapa 5.2.3.3

Reordene os termos.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{x + x - 7 + 7}{x + 7})}{1 - \frac{x - 7}{x + 7}}$

Etapa 5.2.3.4

Reescreva $\frac{x + x - 7 + 7}{x + 7}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.4.1

Some $x$ e $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x - 7 + 7}{x + 7})}{1 - \frac{x - 7}{x + 7}}$

Etapa 5.2.3.4.2

Some $- 7$ e $7$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x + 0}{x + 7})}{1 - \frac{x - 7}{x + 7}}$

Etapa 5.2.3.4.3

Some $2 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{x + 7})}{1 - \frac{x - 7}{x + 7}}$

Etapa 5.2.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{x + 7})}{\frac{x + 7}{x + 7} - \frac{x - 7}{x + 7}}$

Etapa 5.2.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{x + 7})}{\frac{x + 7 - (x - 7)}{x + 7}}$

Etapa 5.2.4.3

Reescreva $\frac{x + 7 - (x - 7)}{x + 7}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{x + 7})}{\frac{x + 7 - x + 7}{x + 7}}$

Etapa 5.2.4.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 7$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{x + 7})}{\frac{x + 7 - x + 7}{x + 7}}$

Etapa 5.2.4.3.3

Subtraia $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{x + 7})}{\frac{0 + 7 + 7}{x + 7}}$

Etapa 5.2.4.3.4

Some $0$ e $7$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{x + 7})}{\frac{7 + 7}{x + 7}}$

Etapa 5.2.4.3.5

Some $7$ e $7$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{x + 7})}{\frac{14}{x + 7}}$

Etapa 5.2.5

Combine $7$ e $\frac{2 x}{x + 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{x + 7}}{\frac{14}{x + 7}}$

Etapa 5.2.6

Multiplique $7$ por $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{\frac{14 x}{x + 7}}{\frac{14}{x + 7}}$

Etapa 5.2.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{14 x}{x + 7} \cdot \frac{x + 7}{14}$

Etapa 5.2.8

Cancele o fator comum de $14$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.8.1

Fatore $14$ de $14 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{14 (x)}{x + 7} \cdot \frac{x + 7}{14}$

Etapa 5.2.8.2

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{14 x}{x + 7} \cdot \frac{x + 7}{14}$

Etapa 5.2.8.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{x}{x + 7} \cdot (x + 7)$

Etapa 5.2.9

Cancele o fator comum de $x + 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.9.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{x}{x + 7} \cdot (x + 7)$

Etapa 5.2.9.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{(\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) - 7}{(\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) + 7}$

Etapa 5.3.3

Cancele o fator comum de $(\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) - 7$ e $(\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) + 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Fatore $7$ de $\frac{7 (x + 1)}{1 - x}$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{7 (\frac{x + 1}{1 - x}) - 7}{(\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) + 7}$

Etapa 5.3.3.2

Fatore $7$ de $- 7$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{7 (\frac{x + 1}{1 - x}) + 7 \cdot - 1}{\frac{7 (x + 1)}{1 - x} + 7}$

Etapa 5.3.3.3

Fatore $7$ de $7 \frac{x + 1}{1 - x} + 7 (- 1)$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{7 (\frac{x + 1}{1 - x} - 1)}{(\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) + 7}$

Etapa 5.3.3.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.4.1

Fatore $7$ de $\frac{7 (x + 1)}{1 - x}$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{7 (\frac{x + 1}{1 - x} - 1)}{7 (\frac{x + 1}{1 - x}) + 7}$

Etapa 5.3.3.4.2

Fatore $7$ de $7$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{7 (\frac{x + 1}{1 - x} - 1)}{7 (\frac{x + 1}{1 - x}) + 7 (1)}$

Etapa 5.3.3.4.3

Fatore $7$ de $7 \frac{x + 1}{1 - x} + 7 (1)$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{7 (\frac{x + 1}{1 - x} - 1)}{7 (\frac{x + 1}{1 - x} + 1)}$

Etapa 5.3.3.4.4

Cancele o fator comum.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{7 (\frac{x + 1}{1 - x} - 1)}{7 (\frac{x + 1}{1 - x} + 1)}$

Etapa 5.3.3.4.5

Reescreva a expressão.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{\frac{x + 1}{1 - x} - 1}{\frac{x + 1}{1 - x} + 1}$

Etapa 5.3.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $1 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Multiplique $\frac{\frac{x + 1}{1 - x} - 1}{\frac{x + 1}{1 - x} + 1}$ por $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{1 - x}{1 - x} \cdot \frac{\frac{x + 1}{1 - x} - 1}{\frac{x + 1}{1 - x} + 1}$

Etapa 5.3.4.2

Combine.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{x + 1}{1 - x} - 1)}{(1 - x) (\frac{x + 1}{1 - x} + 1)}$

Etapa 5.3.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (\frac{x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 1}$

Etapa 5.3.6

Simplifique cancelando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.6.1

Cancele o fator comum de $1 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.6.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (\frac{x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 1}$

Etapa 5.3.6.1.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{x + 1 + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (\frac{x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 1}$

Etapa 5.3.6.2

Cancele o fator comum de $1 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.6.2.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{x + 1 + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (\frac{x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 1}$

Etapa 5.3.6.2.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{x + 1 + (1 - x) \cdot - 1}{x + 1 + (1 - x) \cdot 1}$

Etapa 5.3.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{x + 1 + 1 \cdot - 1 - x \cdot - 1}{x + 1 + (1 - x) \cdot 1}$

Etapa 5.3.7.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{x + 1 - 1 - x \cdot - 1}{x + 1 + (1 - x) \cdot 1}$

Etapa 5.3.7.3

Multiplique $- x \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{x + 1 - 1 + 1 x}{x + 1 + (1 - x) \cdot 1}$

Etapa 5.3.7.3.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{x + 1 - 1 + x}{x + 1 + (1 - x) \cdot 1}$

Etapa 5.3.7.4

Some $x$ e $x$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{2 x + 1 - 1}{x + 1 + (1 - x) \cdot 1}$

Etapa 5.3.7.5

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{2 x + 0}{x + 1 + (1 - x) \cdot 1}$

Etapa 5.3.7.6

Some $2 x$ e $0$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{2 x}{x + 1 + (1 - x) \cdot 1}$

Etapa 5.3.8

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.8.1

Multiplique $1 - x$ por $1$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{2 x}{x + 1 + 1 - x}$

Etapa 5.3.8.2

Subtraia $x$ de $x$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{2 x}{0 + 1 + 1}$

Etapa 5.3.8.3

Some $0$ e $1$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 + 1}$

Etapa 5.3.8.4

Some $1$ e $1$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{2 x}{2}$

Etapa 5.3.9

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.9.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{2 x}{2}$

Etapa 5.3.9.2

Divida $x$ por $1$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{7 (x + 1)}{1 - x}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x - 7}{x + 7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{7 (x + 1)}{1 - x}$