Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 5}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{x - 1}{x + 5}$ como uma equação.

$y = \frac{x - 1}{x + 5}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{y - 1}{y + 5}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{y - 1}{y + 5} = x$ .

$\frac{y - 1}{y + 5} = x$

Etapa 3.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y + 5, 1$

Etapa 3.2.2

Remova os parênteses.

$y + 5, 1$

Etapa 3.2.3

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$y + 5$

Etapa 3.3

Multiplique cada termo em $\frac{y - 1}{y + 5} = x$ por $y + 5$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{y - 1}{y + 5} = x$ por $y + 5$ .

$\frac{y - 1}{y + 5} (y + 5) = x (y + 5)$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $y + 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y - 1}{y + 5} (y + 5) = x (y + 5)$

Etapa 3.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$y - 1 = x (y + 5)$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 1 = x y + x \cdot 5$

Etapa 3.3.3.2

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$y - 1 = x y + 5 x$

Etapa 3.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Subtraia $x y$ dos dois lados da equação.

$y - 1 - x y = 5 x$

Etapa 3.4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y - x y = 5 x + 1$

Etapa 3.4.3

Fatore $y$ de $y - x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - x y = 5 x + 1$

Etapa 3.4.3.2

Fatore $y$ de $- x y$ .

$y \cdot 1 + y (- x) = 5 x + 1$

Etapa 3.4.3.3

Fatore $y$ de $y \cdot 1 + y (- x)$ .

$y (1 - x) = 5 x + 1$

Etapa 3.4.4

Divida cada termo em $y (1 - x) = 5 x + 1$ por $1 - x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1

Divida cada termo em $y (1 - x) = 5 x + 1$ por $1 - x$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{5 x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

Etapa 3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $1 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{5 x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

Etapa 3.4.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{5 x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

Etapa 3.4.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{5 x + 1}{1 - x}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x + 1}{1 - x}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{5 x + 1}{1 - x}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x - 1}{x + 5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{5 (\frac{x - 1}{x + 5}) + 1}{1 - (\frac{x - 1}{x + 5})}$

Etapa 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x + 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Multiplique $\frac{5 \frac{x - 1}{x + 5} + 1}{1 - \frac{x - 1}{x + 5}}$ por $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{x + 5}{x + 5} \cdot \frac{5 (\frac{x - 1}{x + 5}) + 1}{1 - \frac{x - 1}{x + 5}}$

Etapa 5.2.3.2

Combine.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (5 (\frac{x - 1}{x + 5}) + 1)}{(x + 5) (1 - \frac{x - 1}{x + 5})}$

Etapa 5.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (5 (\frac{x - 1}{x + 5})) + (x + 5) \cdot 1}{(x + 5) \cdot 1 + (x + 5) (- \frac{x - 1}{x + 5})}$

Etapa 5.2.5

Cancele o fator comum de $x + 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x - 1}{x + 5}$ para o numerador.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (5 (\frac{x - 1}{x + 5})) + (x + 5) \cdot 1}{(x + 5) \cdot 1 + (x + 5) (\frac{- (x - 1)}{x + 5})}$

Etapa 5.2.5.2

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (5 (\frac{x - 1}{x + 5})) + (x + 5) \cdot 1}{(x + 5) \cdot 1 + (x + 5) (\frac{- (x - 1)}{x + 5})}$

Etapa 5.2.5.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (5 (\frac{x - 1}{x + 5})) + (x + 5) \cdot 1}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Etapa 5.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.1

Fatore $x + 5$ de $(x + 5) \cdot 5 \frac{x - 1}{x + 5} + (x + 5) \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.1.1

Fatore $x + 5$ de $(x + 5) \cdot 5 \frac{x - 1}{x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (5 (\frac{x - 1}{x + 5})) + (x + 5) \cdot 1}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Etapa 5.2.6.1.2

Fatore $x + 5$ de $(x + 5) \cdot 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (5 (\frac{x - 1}{x + 5})) + (x + 5) (1)}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Etapa 5.2.6.1.3

Fatore $x + 5$ de $(x + 5) (5 \frac{x - 1}{x + 5}) + (x + 5) (1)$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (5 (\frac{x - 1}{x + 5}) + 1)}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Etapa 5.2.6.2

Combine $5$ e $\frac{x - 1}{x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{5 (x - 1)}{x + 5} + 1)}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Etapa 5.2.6.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{5 (x - 1)}{x + 5} + \frac{x + 5}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Etapa 5.2.6.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{5 (x - 1) + x + 5}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Etapa 5.2.6.5

Reordene os termos.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{x + 5 (x - 1) + 5}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Etapa 5.2.6.6

Reescreva $\frac{x + 5 (x - 1) + 5}{x + 5}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{x + 5 x + 5 \cdot - 1 + 5}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Etapa 5.2.6.6.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{x + 5 x - 5 + 5}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Etapa 5.2.6.6.3

Some $x$ e $5 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x - 5 + 5}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Etapa 5.2.6.6.4

Some $- 5$ e $5$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x + 0}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Etapa 5.2.6.6.5

Some $6 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Etapa 5.2.7

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.7.1

Multiplique $x + 5$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x}{x + 5})}{x + 5 - (x - 1)}$

Etapa 5.2.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x}{x + 5})}{x + 5 - x + 1}$

Etapa 5.2.7.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x}{x + 5})}{x + 5 - x + 1}$

Etapa 5.2.7.4

Subtraia $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x}{x + 5})}{0 + 5 + 1}$

Etapa 5.2.7.5

Some $0$ e $5$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x}{x + 5})}{5 + 1}$

Etapa 5.2.7.6

Some $5$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x}{x + 5})}{6}$

Etapa 5.2.8

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.8.1

Fatore $\frac{6 x}{x + 5}$ de $\frac{(x + 5) \frac{6 x}{x + 5}}{6}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{6 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{6}$

Etapa 5.2.8.2

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.8.2.1

Fatore $6$ de $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{6 (x)}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{6}$

Etapa 5.2.8.2.2

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{6 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{6}$

Etapa 5.2.8.2.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{x}{x + 5} \cdot (x + 5)$

Etapa 5.2.8.3

Cancele o fator comum de $x + 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.8.3.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{x}{x + 5} \cdot (x + 5)$

Etapa 5.2.8.3.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{5 x + 1}{1 - x})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{(\frac{5 x + 1}{1 - x}) - 1}{(\frac{5 x + 1}{1 - x}) + 5}$

Etapa 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $1 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Multiplique $\frac{\frac{5 x + 1}{1 - x} - 1}{\frac{5 x + 1}{1 - x} + 5}$ por $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{1 - x}{1 - x} \cdot \frac{\frac{5 x + 1}{1 - x} - 1}{\frac{5 x + 1}{1 - x} + 5}$

Etapa 5.3.3.2

Combine.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{5 x + 1}{1 - x} - 1)}{(1 - x) (\frac{5 x + 1}{1 - x} + 5)}$

Etapa 5.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{5 x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (\frac{5 x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 5}$

Etapa 5.3.5

Simplifique cancelando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Cancele o fator comum de $1 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{5 x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (\frac{5 x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 5}$

Etapa 5.3.5.1.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{5 x + 1 + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (\frac{5 x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 5}$

Etapa 5.3.5.2

Cancele o fator comum de $1 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.2.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{5 x + 1 + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (\frac{5 x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 5}$

Etapa 5.3.5.2.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{5 x + 1 + (1 - x) \cdot - 1}{5 x + 1 + (1 - x) \cdot 5}$

Etapa 5.3.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{5 x + 1 + 1 \cdot - 1 - x \cdot - 1}{5 x + 1 + (1 - x) \cdot 5}$

Etapa 5.3.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{5 x + 1 - 1 - x \cdot - 1}{5 x + 1 + (1 - x) \cdot 5}$

Etapa 5.3.6.3

Multiplique $- x \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.6.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{5 x + 1 - 1 + 1 x}{5 x + 1 + (1 - x) \cdot 5}$

Etapa 5.3.6.3.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{5 x + 1 - 1 + x}{5 x + 1 + (1 - x) \cdot 5}$

Etapa 5.3.6.4

Some $5 x$ e $x$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x + 1 - 1}{5 x + 1 + (1 - x) \cdot 5}$

Etapa 5.3.6.5

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x + 0}{5 x + 1 + (1 - x) \cdot 5}$

Etapa 5.3.6.6

Some $6 x$ e $0$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x}{5 x + 1 + (1 - x) \cdot 5}$

Etapa 5.3.7

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x}{5 x + 1 + 1 \cdot 5 - x \cdot 5}$

Etapa 5.3.7.2

Multiplique $5$ por $1$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x}{5 x + 1 + 5 - x \cdot 5}$

Etapa 5.3.7.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x}{5 x + 1 + 5 - 5 x}$

Etapa 5.3.7.4

Subtraia $5 x$ de $5 x$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x}{0 + 1 + 5}$

Etapa 5.3.7.5

Some $0$ e $1$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x}{1 + 5}$

Etapa 5.3.7.6

Some $1$ e $5$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x}{6}$

Etapa 5.3.8

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.8.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x}{6}$

Etapa 5.3.8.2

Divida $x$ por $1$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{5 x + 1}{1 - x}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x - 1}{x + 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x + 1}{1 - x}$