Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = e^{3 x - 5} - 2$

Etapa 1

Escreva $f (x) = e^{3 x - 5} - 2$ como uma equação.

$y = e^{3 x - 5} - 2$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = e^{3 y - 5} - 2$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $e^{3 y - 5} - 2 = x$ .

$e^{3 y - 5} - 2 = x$

Etapa 3.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$e^{3 y - 5} = x + 2$

Etapa 3.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{3 y - 5}) = \ln (x + 2)$

Etapa 3.4

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.1

Expanda $\ln (e^{3 y - 5})$ movendo $3 y - 5$ para fora do logaritmo.

$(3 y - 5) \ln (e) = \ln (x + 2)$

Etapa 3.4.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$(3 y - 5) \cdot 1 = \ln (x + 2)$

Etapa 3.4.3

Multiplique $3 y - 5$ por $1$ .

$3 y - 5 = \ln (x + 2)$

Etapa 3.5

Some $5$ aos dois lados da equação.

$3 y = \ln (x + 2) + 5$

Etapa 3.6

Divida cada termo em $3 y = \ln (x + 2) + 5$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 3.6.1

Divida cada termo em $3 y = \ln (x + 2) + 5$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

Etapa 3.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.6.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

Etapa 3.6.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

Etapa 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$ é o inverso de $f (x) = e^{3 x - 5} - 2$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2)$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln ((e^{3 x - 5} - 2) + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

Etapa 5.2.3

Simplifique os termos.

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Etapa 5.2.3.1

Combine os termos opostos em $\frac{\ln ((e^{3 x - 5} - 2) + 2)}{3} + \frac{5}{3}$ .

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Etapa 5.2.3.1.1

Some $- 2$ e $2$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln (e^{3 x - 5} + 0)}{3} + \frac{5}{3}$

Etapa 5.2.3.1.2

Some $e^{3 x - 5}$ e $0$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln (e^{3 x - 5})}{3} + \frac{5}{3}$

Etapa 5.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln (e^{3 x - 5}) + 5}{3}$

Etapa 5.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.4.1

Use as regras logarítmicas para mover $3 x - 5$ para fora do expoente.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{(3 x - 5) \ln (e) + 5}{3}$

Etapa 5.2.4.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{(3 x - 5) \cdot 1 + 5}{3}$

Etapa 5.2.4.3

Multiplique $3 x - 5$ por $1$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x - 5 + 5}{3}$

Etapa 5.2.5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.2.5.1

Combine os termos opostos em $3 x - 5 + 5$ .

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Etapa 5.2.5.1.1

Some $- 5$ e $5$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x + 0}{3}$

Etapa 5.2.5.1.2

Some $3 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x}{3}$

Etapa 5.2.5.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.5.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x}{3}$

Etapa 5.2.5.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

Etapa 5.3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1.1.1

Reescreva $\frac{\ln (x + 2)}{3}$ como $\frac{1}{3} \ln (x + 2)$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{1}{3} \cdot \ln (x + 2) + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

Etapa 5.3.3.1.1.2

Simplifique $\frac{1}{3} \ln (x + 2)$ movendo $\frac{1}{3}$ para dentro do logaritmo.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

Etapa 5.3.3.1.2

Para escrever $\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

Etapa 5.3.3.1.3

Combine $\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3}{3} + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

Etapa 5.3.3.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3 + 5}{3}) - 5} - 2$

Etapa 5.3.3.1.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.3.3.1.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.3.1.5.1.1

Multiplique $\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3$ .

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Etapa 5.3.3.1.5.1.1.1

Reordene $\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ e $3$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{3 \cdot \ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) + 5}{3}) - 5} - 2$

Etapa 5.3.3.1.5.1.1.2

Simplifique $3 \cdot \ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}) + 5}{3}) - 5} - 2$

Etapa 5.3.3.1.5.1.2

Multiplique os expoentes em ${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 5.3.3.1.5.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}) + 5}{3}) - 5} - 2$

Etapa 5.3.3.1.5.1.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.3.3.1.5.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}) + 5}{3}) - 5} - 2$

Etapa 5.3.3.1.5.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{1}) + 5}{3}) - 5} - 2$

Etapa 5.3.3.1.5.1.3

Simplifique.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln (x + 2) + 5}{3}) - 5} - 2$

Etapa 5.3.3.1.5.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln (x + 2) + 5}{3}) - 5} - 2$

Etapa 5.3.3.1.5.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{\ln (x + 2) + 5 - 5} - 2$

Etapa 5.3.3.2

Combine os termos opostos em $\ln (x + 2) + 5 - 5$ .

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Etapa 5.3.3.2.1

Subtraia $5$ de $5$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{\ln (x + 2) + 0} - 2$

Etapa 5.3.3.2.2

Some $\ln (x + 2)$ e $0$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{\ln (x + 2)} - 2$

Etapa 5.3.3.3

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = x + 2 - 2$

Etapa 5.3.4

Combine os termos opostos em $x + 2 - 2$ .

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Etapa 5.3.4.1

Subtraia $2$ de $2$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = x + 0$

Etapa 5.3.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$ é o inverso de $f (x) = e^{3 x - 5} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$