Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{8 x + 10}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \sqrt{8 x + 10}$ como uma equação.

$y = \sqrt{8 x + 10}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \sqrt{8 y + 10}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\sqrt{8 y + 10} = x$ .

$\sqrt{8 y + 10} = x$

Etapa 3.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{8 y + 10}}^{2} = x^{2}$

Etapa 3.3

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{8 y + 10}$ como ${(8 y + 10)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(8 y + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique ${({(8 y + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(8 y + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 y + 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(8 y + 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(8 y + 10)}^{1} = x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.2

Simplifique.

$8 y + 10 = x^{2}$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Subtraia $10$ dos dois lados da equação.

$8 y = x^{2} - 10$

Etapa 3.4.2

Divida cada termo em $8 y = x^{2} - 10$ por $8$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Divida cada termo em $8 y = x^{2} - 10$ por $8$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 10}{8}$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 y}{8} = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 10}{8}$

Etapa 3.4.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 10}{8}$

Etapa 3.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $- 10$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.3.1.1.1

Fatore $2$ de $- 10$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{2 (- 5)}{8}$

Etapa 3.4.2.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.3.1.1.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.4.2.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.4.2.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 5}{4}$

Etapa 3.4.2.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}$ é o inverso de $f (x) = \sqrt{8 x + 10}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{(\sqrt{8 x + 10})}^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

Etapa 5.2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1

Fatore $2$ de $8 x + 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1.1

Fatore $2$ de $8 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{\sqrt{2 (4 x) + 10}}^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

Etapa 5.2.3.1.1.2

Fatore $2$ de $10$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{\sqrt{2 (4 x) + 2 (5)}}^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

Etapa 5.2.3.1.1.3

Fatore $2$ de $2 (4 x) + 2 (5)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{\sqrt{2 (4 x + 5)}}^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

Etapa 5.2.3.1.2

Reescreva ${\sqrt{2 (4 x + 5)}}^{2}$ como $2 (4 x + 5)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 (4 x + 5)}$ como ${(2 (4 x + 5))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{({(2 (4 x + 5))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

Etapa 5.2.3.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{(2 (4 x + 5))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8} - \frac{5}{4}$

Etapa 5.2.3.1.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{(2 (4 x + 5))}^{\frac{2}{2}}}{8} - \frac{5}{4}$

Etapa 5.2.3.1.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{(2 (4 x + 5))}^{\frac{2}{2}}}{8} - \frac{5}{4}$

Etapa 5.2.3.1.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x + 5)}{8} - \frac{5}{4}$

Etapa 5.2.3.1.2.5

Simplifique.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x + 5)}{8} - \frac{5}{4}$

Etapa 5.2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x) + 2 \cdot 5}{8} - \frac{5}{4}$

Etapa 5.2.3.1.4

Multiplique $4$ por $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{8 x + 2 \cdot 5}{8} - \frac{5}{4}$

Etapa 5.2.3.1.5

Multiplique $2$ por $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{8 x + 10}{8} - \frac{5}{4}$

Etapa 5.2.3.1.6

Fatore $2$ de $8 x + 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.6.1

Fatore $2$ de $8 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x) + 10}{8} - \frac{5}{4}$

Etapa 5.2.3.1.6.2

Fatore $2$ de $10$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x) + 2 (5)}{8} - \frac{5}{4}$

Etapa 5.2.3.1.6.3

Fatore $2$ de $2 (4 x) + 2 (5)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x + 5)}{8} - \frac{5}{4}$

Etapa 5.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x + 5)}{2 \cdot 4} - \frac{5}{4}$

Etapa 5.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x + 5)}{2 \cdot 4} - \frac{5}{4}$

Etapa 5.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{4 x + 5}{4} - \frac{5}{4}$

Etapa 5.2.4

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{4 x + 5 - 5}{4}$

Etapa 5.2.4.2

Combine os termos opostos em $4 x + 5 - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.2.1

Subtraia $5$ de $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{4 x + 0}{4}$

Etapa 5.2.4.2.2

Some $4 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{4 x}{4}$

Etapa 5.2.4.3

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.3.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{4 x}{4}$

Etapa 5.2.4.3.2

Divida $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{8 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) + 10}$

Etapa 5.3.3

Fatore $2$ de $8 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) + 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Fatore $2$ de $8 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4})$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (4 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4})) + 10}$

Etapa 5.3.3.2

Fatore $2$ de $10$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (4 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4})) + 2 (5)}$

Etapa 5.3.3.3

Fatore $2$ de $2 (4 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4})) + 2 (5)$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (4 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) + 5)}$

Etapa 5.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (4 (\frac{x^{2}}{8}) + 4 (- \frac{5}{4}) + 5)}$

Etapa 5.3.5

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Fatore $4$ de $8$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (4 (\frac{x^{2}}{4 (2)}) + 4 (- \frac{5}{4}) + 5)}$

Etapa 5.3.5.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (4 (\frac{x^{2}}{4 \cdot 2}) + 4 (- \frac{5}{4}) + 5)}$

Etapa 5.3.5.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 4 (- \frac{5}{4}) + 5)}$

Etapa 5.3.6

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.6.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{5}{4}$ para o numerador.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 4 (\frac{- 5}{4}) + 5)}$

Etapa 5.3.6.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 4 (\frac{- 5}{4}) + 5)}$

Etapa 5.3.6.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} - 5 + 5)}$

Etapa 5.3.7

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.1

Some $- 5$ e $5$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 0)}$

Etapa 5.3.7.2

Some $\frac{x^{2}}{2}$ e $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2})}$

Etapa 5.3.8

Combine $2$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{\frac{2 x^{2}}{2}}$

Etapa 5.3.9

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.9.1

Reduza a expressão $\frac{2 x^{2}}{2}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.9.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{\frac{2 x^{2}}{2}}$

Etapa 5.3.9.1.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

Etapa 5.3.9.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{x^{2}}$

Etapa 5.3.10

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}$ é o inverso de $f (x) = \sqrt{8 x + 10}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}$