Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{8 - x}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \sqrt{8 - x}$ como uma equação.

$y = \sqrt{8 - x}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \sqrt{8 - y}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\sqrt{8 - y} = x$ .

$\sqrt{8 - y} = x$

Etapa 3.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{8 - y}}^{2} = x^{2}$

Etapa 3.3

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{8 - y}$ como ${(8 - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Simplifique ${({(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(8 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(8 - y)}^{1} = x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.2

Simplifique.

$8 - y = x^{2}$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

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Etapa 3.4.1

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$- y = x^{2} - 8$

Etapa 3.4.2

Divida cada termo em $- y = x^{2} - 8$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.4.2.1

Divida cada termo em $- y = x^{2} - 8$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 3.4.2.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 3.4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.2.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 3.4.2.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 3.4.2.3.1.3

Divida $- 8$ por $- 1$ .

$y = - x^{2} + 8$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = - x^{2} + 8$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = - x^{2} + 8$ é o inverso de $f (x) = \sqrt{8 - x}$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\sqrt{8 - x})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - {(\sqrt{8 - x})}^{2} + 8$

Etapa 5.2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1

Reescreva ${\sqrt{8 - x}}^{2}$ como $8 - x$ .

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Etapa 5.2.3.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{8 - x}$ como ${(8 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - {({(8 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 8$

Etapa 5.2.3.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - {(8 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 8$

Etapa 5.2.3.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - {(8 - x)}^{\frac{2}{2}} + 8$

Etapa 5.2.3.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.3.1.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - {(8 - x)}^{\frac{2}{2}} + 8$

Etapa 5.2.3.1.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - (8 - x) + 8$

Etapa 5.2.3.1.5

Simplifique.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - (8 - x) + 8$

Etapa 5.2.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - 1 \cdot 8 + x + 8$

Etapa 5.2.3.3

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - 8 + x + 8$

Etapa 5.2.3.4

Multiplique $- - x$ .

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Etapa 5.2.3.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - 8 + 1 x + 8$

Etapa 5.2.3.4.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - 8 + x + 8$

Etapa 5.2.4

Combine os termos opostos em $- 8 + x + 8$ .

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Etapa 5.2.4.1

Some $- 8$ e $8$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = x + 0$

Etapa 5.2.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (- x^{2} + 8)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (- x^{2} + 8) = \sqrt{8 - (- x^{2} + 8)}$

Etapa 5.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- x^{2} + 8) = \sqrt{8 + x^{2} - 1 \cdot 8}$

Etapa 5.3.4

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$f (- x^{2} + 8) = \sqrt{8 + x^{2} - 8}$

Etapa 5.3.5

Subtraia $8$ de $8$ .

$f (- x^{2} + 8) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Etapa 5.3.6

Some $x^{2}$ e $0$ .

$f (- x^{2} + 8) = \sqrt{x^{2}}$

Etapa 5.3.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (- x^{2} + 8) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = - x^{2} + 8$ é o inverso de $f (x) = \sqrt{8 - x}$ .

$f^{- 1} (x) = - x^{2} + 8$