Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{4 - 5 x}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \sqrt{4 - 5 x}$ como uma equação.

$y = \sqrt{4 - 5 x}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \sqrt{4 - 5 y}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\sqrt{4 - 5 y} = x$ .

$\sqrt{4 - 5 y} = x$

Etapa 3.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{4 - 5 y}}^{2} = x^{2}$

Etapa 3.3

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{4 - 5 y}$ como ${(4 - 5 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 - 5 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Simplifique ${({(4 - 5 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(4 - 5 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 - 5 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(4 - 5 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(4 - 5 y)}^{1} = x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.2

Simplifique.

$4 - 5 y = x^{2}$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

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Etapa 3.4.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$- 5 y = x^{2} - 4$

Etapa 3.4.2

Divida cada termo em $- 5 y = x^{2} - 4$ por $- 5$ e simplifique.

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Etapa 3.4.2.1

Divida cada termo em $- 5 y = x^{2} - 4$ por $- 5$ .

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{x^{2}}{- 5} + \frac{- 4}{- 5}$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{x^{2}}{- 5} + \frac{- 4}{- 5}$

Etapa 3.4.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{- 5} + \frac{- 4}{- 5}$

Etapa 3.4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.2.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{- 4}{- 5}$

Etapa 3.4.2.3.1.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}$ é o inverso de $f (x) = \sqrt{4 - 5 x}$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = - \frac{{(\sqrt{4 - 5 x})}^{2}}{5} + \frac{4}{5}$

Etapa 5.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- {(\sqrt{4 - 5 x})}^{2} + 4}{5}$

Etapa 5.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.4.1

Reescreva ${\sqrt{4 - 5 x}}^{2}$ como $4 - 5 x$ .

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Etapa 5.2.4.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{4 - 5 x}$ como ${(4 - 5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- {({(4 - 5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4}{5}$

Etapa 5.2.4.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- {(4 - 5 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4}{5}$

Etapa 5.2.4.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- {(4 - 5 x)}^{\frac{2}{2}} + 4}{5}$

Etapa 5.2.4.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.4.1.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- {(4 - 5 x)}^{\frac{2}{2}} + 4}{5}$

Etapa 5.2.4.1.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- (4 - 5 x) + 4}{5}$

Etapa 5.2.4.1.5

Simplifique.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- (4 - 5 x) + 4}{5}$

Etapa 5.2.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- 1 \cdot 4 - (- 5 x) + 4}{5}$

Etapa 5.2.4.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- 4 - (- 5 x) + 4}{5}$

Etapa 5.2.4.4

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- 4 + 5 x + 4}{5}$

Etapa 5.2.5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.2.5.1

Combine os termos opostos em $- 4 + 5 x + 4$ .

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Etapa 5.2.5.1.1

Some $- 4$ e $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{5 x + 0}{5}$

Etapa 5.2.5.1.2

Some $5 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{5 x}{5}$

Etapa 5.2.5.2

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 5.2.5.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{5 x}{5}$

Etapa 5.2.5.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 - 5 (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5})}$

Etapa 5.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 - 5 (- \frac{x^{2}}{5}) - 5 (\frac{4}{5})}$

Etapa 5.3.4

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 5.3.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x^{2}}{5}$ para o numerador.

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 - 5 \frac{- x^{2}}{5} - 5 (\frac{4}{5})}$

Etapa 5.3.4.2

Fatore $5$ de $- 5$ .

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 + 5 (- 1) (\frac{- x^{2}}{5}) - 5 (\frac{4}{5})}$

Etapa 5.3.4.3

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 + 5 \cdot (- 1 \frac{- x^{2}}{5}) - 5 (\frac{4}{5})}$

Etapa 5.3.4.4

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 - 1 (- x^{2}) - 5 (\frac{4}{5})}$

Etapa 5.3.5

Multiplique.

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Etapa 5.3.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 + 1 x^{2} - 5 (\frac{4}{5})}$

Etapa 5.3.5.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 + x^{2} - 5 (\frac{4}{5})}$

Etapa 5.3.6

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.6.1

Fatore $5$ de $- 5$ .

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 + x^{2} + 5 (- 1) (\frac{4}{5})}$

Etapa 5.3.6.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 + x^{2} + 5 \cdot (- 1 (\frac{4}{5}))}$

Etapa 5.3.6.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 + x^{2} - 1 \cdot 4}$

Etapa 5.3.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.3.7.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 + x^{2} - 4}$

Etapa 5.3.7.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Etapa 5.3.7.3

Some $x^{2}$ e $0$ .

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{x^{2}}$

Etapa 5.3.8

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}$ é o inverso de $f (x) = \sqrt{4 - 5 x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}$