Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 6 \log (x) - 3$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 6 \log (x) - 3$ como uma equação.

$y = 6 \log (x) - 3$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 6 \log (y) - 3$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $6 \log (y) - 3 = x$ .

$6 \log (y) - 3 = x$

Etapa 3.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$6 \log (y) = x + 3$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $6 \log (y) = x + 3$ por $6$ e simplifique.

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Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $6 \log (y) = x + 3$ por $6$ .

$\frac{6 \log (y)}{6} = \frac{x}{6} + \frac{3}{6}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 \log (y)}{6} = \frac{x}{6} + \frac{3}{6}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $\log (y)$ por $1$ .

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{3}{6}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1

Cancele o fator comum de $3$ e $6$ .

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Etapa 3.3.3.1.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{3 (1)}{6}$

Etapa 3.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.3.3.1.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Etapa 3.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Etapa 3.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{1}{2}$

Etapa 3.4

Reescreva $\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{1}{2}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}} = y$

Etapa 3.5

Reescreva a equação como $y = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$ .

$y = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$ é o inverso de $f (x) = 6 \log (x) - 3$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (6 \log (x) - 3)$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{6 \log (x) - 3}{6} + \frac{1}{2}}$

Etapa 5.2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1

Cancele o fator comum de $6 \log (x) - 3$ e $6$ .

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Etapa 5.2.3.1.1

Fatore $3$ de $6 \log (x)$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x)) - 3}{6} + \frac{1}{2}}$

Etapa 5.2.3.1.2

Fatore $3$ de $- 3$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x)) + 3 (- 1)}{6} + \frac{1}{2}}$

Etapa 5.2.3.1.3

Fatore $3$ de $3 (2 \log (x)) + 3 (- 1)$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x) - 1)}{6} + \frac{1}{2}}$

Etapa 5.2.3.1.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.3.1.4.1

Fatore $3$ de $6$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x) - 1)}{3 (2)} + \frac{1}{2}}$

Etapa 5.2.3.1.4.2

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x) - 1)}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2}}$

Etapa 5.2.3.1.4.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{2 \log (x) - 1}{2} + \frac{1}{2}}$

Etapa 5.2.3.2

Simplifique $2 \log (x)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{\log (x^{2}) - 1}{2} + \frac{1}{2}}$

Etapa 5.2.4

Simplifique os termos.

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Etapa 5.2.4.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{\log (x^{2}) - 1 + 1}{2}}$

Etapa 5.2.4.2

Combine os termos opostos em $\log (x^{2}) - 1 + 1$ .

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Etapa 5.2.4.2.1

Some $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{\log (x^{2}) + 0}{2}}$

Etapa 5.2.4.2.2

Some $\log (x^{2})$ e $0$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{\log (x^{2})}{2}}$

Etapa 5.2.5

Expanda $\log (x^{2})$ movendo $2$ para fora do logaritmo.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{2 \log (x)}{2}}$

Etapa 5.2.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.6.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{2 \log (x)}{2}}$

Etapa 5.2.6.2

Divida $\log (x)$ por $1$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\log (x)}$

Etapa 5.2.7

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 \log (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) - 3$

Etapa 5.3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1

Use as regras logarítmicas para mover $\frac{x}{6} + \frac{1}{2}$ para fora do expoente.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 ((\frac{x}{6} + \frac{1}{2}) \log (10)) - 3$

Etapa 5.3.3.2

A base do logaritmo $10$ de $10$ é $1$ .

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 ((\frac{x}{6} + \frac{1}{2}) \cdot 1) - 3$

Etapa 5.3.3.3

Multiplique $\frac{x}{6} + \frac{1}{2}$ por $1$ .

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 (\frac{x}{6} + \frac{1}{2}) - 3$

Etapa 5.3.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 (\frac{x}{6}) + 6 (\frac{1}{2}) - 3$

Etapa 5.3.3.5

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 5.3.3.5.1

Cancele o fator comum.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 (\frac{x}{6}) + 6 (\frac{1}{2}) - 3$

Etapa 5.3.3.5.2

Reescreva a expressão.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 6 (\frac{1}{2}) - 3$

Etapa 5.3.3.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.3.6.1

Fatore $2$ de $6$ .

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 2 (3) (\frac{1}{2}) - 3$

Etapa 5.3.3.6.2

Cancele o fator comum.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 2 \cdot (3 (\frac{1}{2})) - 3$

Etapa 5.3.3.6.3

Reescreva a expressão.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 3 - 3$

Etapa 5.3.4

Combine os termos opostos em $x + 3 - 3$ .

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Etapa 5.3.4.1

Subtraia $3$ de $3$ .

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 0$

Etapa 5.3.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$ é o inverso de $f (x) = 6 \log (x) - 3$ .

$f^{- 1} (x) = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$