Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 5 + \ln (x)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 5 + \ln (x)$ como uma equação.

$y = 5 + \ln (x)$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 5 + \ln (y)$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $5 + \ln (y) = x$ .

$5 + \ln (y) = x$

Etapa 3.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$\ln (y) = x - 5$

Etapa 3.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (y)} = e^{x - 5}$

Etapa 3.4

Reescreva $\ln (y) = x - 5$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x - 5} = y$

Etapa 3.5

Reescreva a equação como $y = e^{x - 5}$ .

$y = e^{x - 5}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = e^{x - 5}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = e^{x - 5}$ é o inverso de $f (x) = 5 + \ln (x)$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (5 + \ln (x))$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 + \ln (x)) = e^{(5 + \ln (x)) - 5}$

Etapa 5.2.3

Combine os termos opostos em $(5 + \ln (x)) - 5$ .

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Etapa 5.2.3.1

Subtraia $5$ de $5$ .

$f^{- 1} (5 + \ln (x)) = e^{0 + \ln (x)}$

Etapa 5.2.3.2

Some $0$ e $\ln (x)$ .

$f^{- 1} (5 + \ln (x)) = e^{\ln (x)}$

Etapa 5.2.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f^{- 1} (5 + \ln (x)) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (e^{x - 5})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (e^{x - 5}) = 5 + \ln (e^{x - 5})$

Etapa 5.3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1

Use as regras logarítmicas para mover $x - 5$ para fora do expoente.

$f (e^{x - 5}) = 5 + (x - 5) \ln (e)$

Etapa 5.3.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f (e^{x - 5}) = 5 + (x - 5) \cdot 1$

Etapa 5.3.3.3

Multiplique $x - 5$ por $1$ .

$f (e^{x - 5}) = 5 + x - 5$

Etapa 5.3.4

Combine os termos opostos em $5 + x - 5$ .

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Etapa 5.3.4.1

Subtraia $5$ de $5$ .

$f (e^{x - 5}) = x + 0$

Etapa 5.3.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f (e^{x - 5}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = e^{x - 5}$ é o inverso de $f (x) = 5 + \ln (x)$ .

$f^{- 1} (x) = e^{x - 5}$