Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 5 x^{2} + 7$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 5 x^{2} + 7$ como uma equação.

$y = 5 x^{2} + 7$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 5 y^{2} + 7$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $5 y^{2} + 7 = x$ .

$5 y^{2} + 7 = x$

Etapa 3.2

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$5 y^{2} = x - 7$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $5 y^{2} = x - 7$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $5 y^{2} = x - 7$ por $5$ .

$\frac{5 y^{2}}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 7}{5}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 y^{2}}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 7}{5}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{5} + \frac{- 7}{5}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y^{2} = \frac{x}{5} - \frac{7}{5}$

Etapa 3.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{5} - \frac{7}{5}}$

Etapa 3.5

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{x}{5} - \frac{7}{5}}$ .

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Etapa 3.5.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{x - 7}{5}}$

Etapa 3.5.2

Reescreva $\sqrt{\frac{x - 7}{5}}$ como $\frac{\sqrt{x - 7}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 7}}{\sqrt{5}}$

Etapa 3.5.3

Multiplique $\frac{\sqrt{x - 7}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 7}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Etapa 3.5.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.5.4.1

Multiplique $\frac{\sqrt{x - 7}}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 7} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 3.5.4.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Etapa 3.5.4.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Etapa 3.5.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.5.4.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Etapa 3.5.4.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Etapa 3.5.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 7} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.5.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 7} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.5.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 7} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.5.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.5.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 7} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.5.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 7} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Etapa 3.5.4.6.5

Avalie o expoente.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 7} \sqrt{5}}{5}$

Etapa 3.5.5

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x - 7) \cdot 5}}{5}$

Etapa 3.5.6

Reordene os fatores em $\pm \frac{\sqrt{(x - 7) \cdot 5}}{5}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$

Etapa 3.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$

Etapa 3.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$

Etapa 3.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$

$y = \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$

$y = \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$ é o inverso de $f (x) = 5 x^{2} + 7$ .

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Etapa 5.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = 5 x^{2} + 7$ e $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$ e os compare.

Etapa 5.2

Encontre o intervalo de $f (x) = 5 x^{2} + 7$ .

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Etapa 5.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[7, \infty)$

Etapa 5.3

Encontre o domínio de $\frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$ .

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Etapa 5.3.1

Defina o radicando em $\sqrt{5 (x - 7)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$5 (x - 7) \geq 0$

Etapa 5.3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.3.2.1

Divida cada termo em $5 (x - 7) \geq 0$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 5.3.2.1.1

Divida cada termo em $5 (x - 7) \geq 0$ por $5$ .

$\frac{5 (x - 7)}{5} \geq \frac{0}{5}$

Etapa 5.3.2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 5.3.2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (x - 7)}{5} \geq \frac{0}{5}$

Etapa 5.3.2.1.2.1.2

Divida $x - 7$ por $1$ .

$x - 7 \geq \frac{0}{5}$

Etapa 5.3.2.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.1.3.1

Divida $0$ por $5$ .

$x - 7 \geq 0$

Etapa 5.3.2.2

Some $7$ aos dois lados da desigualdade.

$x \geq 7$

Etapa 5.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[7, \infty)$

Etapa 5.4

Encontre o domínio de $f (x) = 5 x^{2} + 7$ .

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Etapa 5.4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 5.5

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$ é o intervalo de $f (x) = 5 x^{2} + 7$ , e o intervalo de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$ é o domínio de $f (x) = 5 x^{2} + 7$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$ é o inverso de $f (x) = 5 x^{2} + 7$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$

Etapa 6