Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 5 \arcsin (5 x - 1) + 2$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 5 \arcsin (5 x - 1) + 2$ como uma equação.

$y = 5 \arcsin (5 x - 1) + 2$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 5 \arcsin (5 y - 1) + 2$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $5 \arcsin (5 y - 1) + 2 = x$ .

$5 \arcsin (5 y - 1) + 2 = x$

Etapa 3.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$5 \arcsin (5 y - 1) = x - 2$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $5 \arcsin (5 y - 1) = x - 2$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $5 \arcsin (5 y - 1) = x - 2$ por $5$ .

$\frac{5 \arcsin (5 y - 1)}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 2}{5}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 \arcsin (5 y - 1)}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 2}{5}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $\arcsin (5 y - 1)$ por $1$ .

$\arcsin (5 y - 1) = \frac{x}{5} + \frac{- 2}{5}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\arcsin (5 y - 1) = \frac{x}{5} - \frac{2}{5}$

Etapa 3.4

Obtenha o arco seno inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do arco seno.

$5 y - 1 = \sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})$

Etapa 3.5

Some $1$ aos dois lados da equação.

$5 y = \sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5}) + 1$

Etapa 3.6

Divida cada termo em $5 y = \sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5}) + 1$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 3.6.1

Divida cada termo em $5 y = \sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5}) + 1$ por $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}$

Etapa 3.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.6.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 3.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 y}{5} = \frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}$

Etapa 3.6.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}$ é o inverso de $f (x) = 5 \arcsin (5 x - 1) + 2$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2)$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{\sin (\frac{5 \arcsin (5 x - 1) + 2}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}$

Etapa 5.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{\sin (\frac{5 \arcsin (5 x - 1) + 2}{5} - \frac{2}{5}) + 1}{5}$

Etapa 5.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.4.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{\sin (\frac{5 \arcsin (5 x - 1) + 2 - 2}{5}) + 1}{5}$

Etapa 5.2.4.2

Combine os termos opostos em $5 \arcsin (5 x - 1) + 2 - 2$ .

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Etapa 5.2.4.2.1

Subtraia $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{\sin (\frac{5 \arcsin (5 x - 1) + 0}{5}) + 1}{5}$

Etapa 5.2.4.2.2

Some $5 \arcsin (5 x - 1)$ e $0$ .

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{\sin (\frac{5 \arcsin (5 x - 1)}{5}) + 1}{5}$

Etapa 5.2.4.3

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 5.2.4.3.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{\sin (\frac{5 \arcsin (5 x - 1)}{5}) + 1}{5}$

Etapa 5.2.4.3.2

Divida $\arcsin (5 x - 1)$ por $1$ .

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{\sin (\arcsin (5 x - 1)) + 1}{5}$

Etapa 5.2.4.4

As funções seno e arco seno são inversos.

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{5 x - 1 + 1}{5}$

Etapa 5.2.5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.2.5.1

Combine os termos opostos em $5 x - 1 + 1$ .

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Etapa 5.2.5.1.1

Some $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{5 x + 0}{5}$

Etapa 5.2.5.1.2

Some $5 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{5 x}{5}$

Etapa 5.2.5.2

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 5.2.5.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{5 x}{5}$

Etapa 5.2.5.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) = 5 \arcsin (5 (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) - 1) + 2$

Etapa 5.3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) = 5 \arcsin (5 (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}) + 5 (\frac{1}{5}) - 1) + 2$

Etapa 5.3.3.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 5.3.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) = 5 \arcsin (5 (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}) + 5 (\frac{1}{5}) - 1) + 2$

Etapa 5.3.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) = 5 \arcsin (\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5}) + 5 (\frac{1}{5}) - 1) + 2$

Etapa 5.3.3.1.3

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 5.3.3.1.3.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) = 5 \arcsin (\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5}) + 5 (\frac{1}{5}) - 1) + 2$

Etapa 5.3.3.1.3.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) = 5 \arcsin (\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5}) + 1 - 1) + 2$

Etapa 5.3.3.2

Combine os termos opostos em $\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5}) + 1 - 1$ .

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Etapa 5.3.3.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) = 5 \arcsin (\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5}) + 0) + 2$

Etapa 5.3.3.2.2

Some $\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})$ e $0$ .

$f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) = 5 \arcsin (\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})) + 2$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}$ é o inverso de $f (x) = 5 \arcsin (5 x - 1) + 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}$