Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 3 e^{x}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 3 e^{x}$ como uma equação.

$y = 3 e^{x}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 3 e^{y}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $3 e^{y} = x$ .

$3 e^{y} = x$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $3 e^{y} = x$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $3 e^{y} = x$ por $3$ .

$\frac{3 e^{y}}{3} = \frac{x}{3}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 e^{y}}{3} = \frac{x}{3}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida $e^{y}$ por $1$ .

$e^{y} = \frac{x}{3}$

Etapa 3.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x}{3})$

Etapa 3.4

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.1

Expanda $\ln (e^{y})$ movendo $y$ para fora do logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x}{3})$

Etapa 3.4.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x}{3})$

Etapa 3.4.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$y = \ln (\frac{x}{3})$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{3})$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{3})$ é o inverso de $f (x) = 3 e^{x}$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (3 e^{x})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 e^{x}) = \ln (\frac{3 e^{x}}{3})$

Etapa 5.2.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.3.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (3 e^{x}) = \ln (\frac{3 e^{x}}{3})$

Etapa 5.2.3.2

Divida $e^{x}$ por $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{x}) = \ln (e^{x})$

Etapa 5.2.4

Use as regras logarítmicas para mover $x$ para fora do expoente.

$f^{- 1} (3 e^{x}) = x \ln (e)$

Etapa 5.2.5

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{x}) = x \cdot 1$

Etapa 5.2.6

Multiplique $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{x}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\ln (\frac{x}{3}))$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\ln (\frac{x}{3})) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3})}$

Etapa 5.3.3

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (\ln (\frac{x}{3})) = 3 (\frac{x}{3})$

Etapa 5.3.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\ln (\frac{x}{3})) = 3 (\frac{x}{3})$

Etapa 5.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\ln (\frac{x}{3})) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{3})$ é o inverso de $f (x) = 3 e^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{3})$