Pré-cálculo Exemplos

$y = \log_{4} (x - 1)$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \log_{4} (y - 1)$

Etapa 2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\log_{4} (y - 1) = x$ .

$\log_{4} (y - 1) = x$

Etapa 2.2

Reescreva $\log_{4} (y - 1) = x$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$4^{x} = y - 1$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Reescreva a equação como $y - 1 = 4^{x}$ .

$y - 1 = 4^{x}$

Etapa 2.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = 4^{x} + 1$

Etapa 3

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = 4^{x} + 1$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = 4^{x} + 1$ é o inverso de $f (x) = \log_{4} (x - 1)$ .

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Etapa 4.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 4.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 4.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 4.2.2

Avalie $f^{- 1} (\log_{4} (x - 1))$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{4} (x - 1)) = 4^{\log_{4} (x - 1)} + 1$

Etapa 4.2.3

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f^{- 1} (\log_{4} (x - 1)) = x - 1 + 1$

Etapa 4.2.4

Combine os termos opostos em $x - 1 + 1$ .

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Etapa 4.2.4.1

Some $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\log_{4} (x - 1)) = x + 0$

Etapa 4.2.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\log_{4} (x - 1)) = x$

Etapa 4.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 4.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 4.3.2

Avalie $f (4^{x} + 1)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (4^{x} + 1) = \log_{4} ((4^{x} + 1) - 1)$

Etapa 4.3.3

Combine os termos opostos em $(4^{x} + 1) - 1$ .

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Etapa 4.3.3.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (4^{x} + 1) = \log_{4} (4^{x} + 0)$

Etapa 4.3.3.2

Some $4^{x}$ e $0$ .

$f (4^{x} + 1) = \log_{4} (4^{x})$

Etapa 4.3.4

Use as regras logarítmicas para mover $x$ para fora do expoente.

$f (4^{x} + 1) = x \log_{4} (4)$

Etapa 4.3.5

A base do logaritmo $4$ de $4$ é $1$ .

$f (4^{x} + 1) = x \cdot 1$

Etapa 4.3.6

Multiplique $x$ por $1$ .

$f (4^{x} + 1) = x$

Etapa 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = 4^{x} + 1$ é o inverso de $f (x) = \log_{4} (x - 1)$ .

$f^{- 1} (x) = 4^{x} + 1$