Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 9 x^{2} - 9 x$

Etapa 1

O mínimo de uma função quadrática ocorre em $x = - \frac{b}{2 a}$ . Se $a$ for positivo, o valor mínimo da função será $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{mín}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocorre em $x = - \frac{b}{2 a}$

Etapa 2

Encontre o valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 2.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ .

$x = - \frac{- 9}{2 (9)}$

Etapa 2.2

Remova os parênteses.

$x = - \frac{- 9}{2 (9)}$

Etapa 2.3

Simplifique $- \frac{- 9}{2 (9)}$ .

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Etapa 2.3.1

Cancele o fator comum de $- 9$ e $9$ .

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Etapa 2.3.1.1

Fatore $9$ de $- 9$ .

$x = - \frac{9 \cdot - 1}{2 \cdot 9}$

Etapa 2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.1.2.1

Fatore $9$ de $2 \cdot 9$ .

$x = - \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 2}$

Etapa 2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = - \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 2}$

Etapa 2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = - \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - - \frac{1}{2}$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- - \frac{1}{2}$ .

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Etapa 2.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1 (\frac{1}{2})$

Etapa 2.3.3.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 3

Avalie $f (\frac{1}{2})$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{2}$ na expressão.

$f (\frac{1}{2}) = 9 {(\frac{1}{2})}^{2} - 9 (\frac{1}{2})$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 9 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 9 (\frac{1}{2})$

Etapa 3.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{1}{2}) = 9 (\frac{1}{2^{2}}) - 9 (\frac{1}{2})$

Etapa 3.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = 9 (\frac{1}{4}) - 9 (\frac{1}{2})$

Etapa 3.2.1.4

Combine $9$ e $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{9}{4} - 9 (\frac{1}{2})$

Etapa 3.2.1.5

Combine $- 9$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{9}{4} + \frac{- 9}{2}$

Etapa 3.2.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2}$

Etapa 3.2.2

Para escrever $- \frac{9}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 3.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.2.3.1

Multiplique $\frac{9}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4}$

Etapa 3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{9 - 9 \cdot 2}{4}$

Etapa 3.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.5.1

Multiplique $- 9$ por $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{9 - 18}{4}$

Etapa 3.2.5.2

Subtraia $18$ de $9$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 9}{4}$

Etapa 3.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{9}{4}$

Etapa 3.2.7

A resposta final é $- \frac{9}{4}$ .

$- \frac{9}{4}$

Etapa 4

Use os valores $x$ e $y$ para encontrar onde ocorre o mínimo.

$(\frac{1}{2}, - \frac{9}{4})$

Etapa 5