Pré-cálculo Exemplos

$\ln (x) + \ln (x + 5) = \ln (14)$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x + 5)) = \ln (14)$

Etapa 1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 5) = \ln (14)$

Etapa 1.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 5) = \ln (14)$

Etapa 1.3.2

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$\ln (x^{2} + 5 x) = \ln (14)$

Etapa 2

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$x^{2} + 5 x = 14$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Subtraia $14$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + 5 x - 14 = 0$

Etapa 3.2

Fatore $x^{2} + 5 x - 14$ usando o método AC.

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Etapa 3.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 14$ e cuja soma é $5$ .

$- 2, 7$

Etapa 3.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 2) (x + 7) = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 7 = 0$

Etapa 3.4

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.4.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 3.4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 3.5

Defina $x + 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $x + 7$ como igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

Etapa 3.5.2

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$x = - 7$

Etapa 3.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 2) (x + 7) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, - 7$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\ln (x) + \ln (x + 5) = \ln (14)$ verdadeira.

$x = 2$