Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 5$

Etapa 1

Encontre cada combinação de $\pm \frac{p}{q}$ .

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Etapa 1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1$

Etapa 1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 5$

Etapa 2

Aplique a divisão sintética em $\frac{x^{4} - 3 x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 5}{x - 5}$ quando $x = 5$ .

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Etapa 2.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$5$	$1$	$- 3$	$- 2$	$3$	$- 5$

Etapa 2.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$5$	$1$	$- 3$	$- 2$	$3$	$- 5$

	$1$

Etapa 2.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(5)$ e coloque o resultado de $(5)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 3)$ .

$5$	$1$	$- 3$	$- 2$	$3$	$- 5$
		$5$
	$1$

Etapa 2.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$5$	$1$	$- 3$	$- 2$	$3$	$- 5$
		$5$
	$1$	$2$

Etapa 2.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(2)$ pelo divisor $(5)$ e coloque o resultado de $(10)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 2)$ .

$5$	$1$	$- 3$	$- 2$	$3$	$- 5$
		$5$	$10$
	$1$	$2$

Etapa 2.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$5$	$1$	$- 3$	$- 2$	$3$	$- 5$
		$5$	$10$
	$1$	$2$	$8$

Etapa 2.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(8)$ pelo divisor $(5)$ e coloque o resultado de $(40)$ sob o próximo termo no dividendo $(3)$ .

$5$	$1$	$- 3$	$- 2$	$3$	$- 5$
		$5$	$10$	$40$
	$1$	$2$	$8$

Etapa 2.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$5$	$1$	$- 3$	$- 2$	$3$	$- 5$
		$5$	$10$	$40$
	$1$	$2$	$8$	$43$

Etapa 2.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(43)$ pelo divisor $(5)$ e coloque o resultado de $(215)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 5)$ .

$5$	$1$	$- 3$	$- 2$	$3$	$- 5$
		$5$	$10$	$40$	$215$
	$1$	$2$	$8$	$43$

Etapa 2.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$5$	$1$	$- 3$	$- 2$	$3$	$- 5$
		$5$	$10$	$40$	$215$
	$1$	$2$	$8$	$43$	$210$

Etapa 2.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{3} + 2 x^{2} + (8) x + 43 + \frac{210}{x - 5}$

Etapa 2.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{3} + 2 x^{2} + 8 x + 43 + \frac{210}{x - 5}$

Etapa 3

Como $5 > 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética são positivos, $5$ é um limite superior das raízes reais da função.

Limite superior: $5$

Etapa 4

Aplique a divisão sintética em $\frac{x^{4} - 3 x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 5}{x + 5}$ quando $x = - 5$ .

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Etapa 4.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 5$	$1$	$- 3$	$- 2$	$3$	$- 5$

Etapa 4.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 5$	$1$	$- 3$	$- 2$	$3$	$- 5$

	$1$

Etapa 4.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(- 5)$ e coloque o resultado de $(- 5)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 3)$ .

$- 5$	$1$	$- 3$	$- 2$	$3$	$- 5$
		$- 5$
	$1$

Etapa 4.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 5$	$1$	$- 3$	$- 2$	$3$	$- 5$
		$- 5$
	$1$	$- 8$

Etapa 4.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 8)$ pelo divisor $(- 5)$ e coloque o resultado de $(40)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 2)$ .

$- 5$	$1$	$- 3$	$- 2$	$3$	$- 5$
		$- 5$	$40$
	$1$	$- 8$

Etapa 4.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 5$	$1$	$- 3$	$- 2$	$3$	$- 5$
		$- 5$	$40$
	$1$	$- 8$	$38$

Etapa 4.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(38)$ pelo divisor $(- 5)$ e coloque o resultado de $(- 190)$ sob o próximo termo no dividendo $(3)$ .

$- 5$	$1$	$- 3$	$- 2$	$3$	$- 5$
		$- 5$	$40$	$- 190$
	$1$	$- 8$	$38$

Etapa 4.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 5$	$1$	$- 3$	$- 2$	$3$	$- 5$
		$- 5$	$40$	$- 190$
	$1$	$- 8$	$38$	$- 187$

Etapa 4.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 187)$ pelo divisor $(- 5)$ e coloque o resultado de $(935)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 5)$ .

$- 5$	$1$	$- 3$	$- 2$	$3$	$- 5$
		$- 5$	$40$	$- 190$	$935$
	$1$	$- 8$	$38$	$- 187$

Etapa 4.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 5$	$1$	$- 3$	$- 2$	$3$	$- 5$
		$- 5$	$40$	$- 190$	$935$
	$1$	$- 8$	$38$	$- 187$	$930$

Etapa 4.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{3} + - 8 x^{2} + (38) x - 187 + \frac{930}{x + 5}$

Etapa 4.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{3} - 8 x^{2} + 38 x - 187 + \frac{930}{x + 5}$

Etapa 5

Como $- 5 < 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética se alternam, $- 5$ é um limite inferior das raízes reais da função.

Limite inferior: $- 5$

Etapa 6

Determine os limites superior e inferior.

Limite superior: $5$

Limite inferior: $- 5$

Etapa 7