Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} + 4 x^{3} - 2 x - 3$

Etapa 1

Encontre cada combinação de $\pm \frac{p}{q}$ .

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Etapa 1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

Etapa 1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 3$

Etapa 2

Aplique a divisão sintética em $\frac{x^{4} + 4 x^{3} - 2 x - 3}{x - 1}$ quando $x = 1$ .

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Etapa 2.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$1$	$1$	$4$	$0$	$- 2$	$- 3$

Etapa 2.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$1$	$1$	$4$	$0$	$- 2$	$- 3$

	$1$

Etapa 2.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(1)$ sob o próximo termo no dividendo $(4)$ .

$1$	$1$	$4$	$0$	$- 2$	$- 3$
		$1$
	$1$

Etapa 2.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$4$	$0$	$- 2$	$- 3$
		$1$
	$1$	$5$

Etapa 2.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(5)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(5)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$1$	$1$	$4$	$0$	$- 2$	$- 3$
		$1$	$5$
	$1$	$5$

Etapa 2.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$4$	$0$	$- 2$	$- 3$
		$1$	$5$
	$1$	$5$	$5$

Etapa 2.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(5)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(5)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 2)$ .

$1$	$1$	$4$	$0$	$- 2$	$- 3$
		$1$	$5$	$5$
	$1$	$5$	$5$

Etapa 2.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$4$	$0$	$- 2$	$- 3$
		$1$	$5$	$5$
	$1$	$5$	$5$	$3$

Etapa 2.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(3)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(3)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 3)$ .

$1$	$1$	$4$	$0$	$- 2$	$- 3$
		$1$	$5$	$5$	$3$
	$1$	$5$	$5$	$3$

Etapa 2.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$4$	$0$	$- 2$	$- 3$
		$1$	$5$	$5$	$3$
	$1$	$5$	$5$	$3$	$0$

Etapa 2.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{3} + 5 x^{2} + (5) x + 3$

Etapa 2.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{3} + 5 x^{2} + 5 x + 3$

Etapa 3

Como $1 > 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética são positivos, $1$ é um limite superior das raízes reais da função.

Limite superior: $1$

Etapa 4

Aplique a divisão sintética em $\frac{x^{4} + 4 x^{3} - 2 x - 3}{x - 3}$ quando $x = 3$ .

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Etapa 4.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$3$	$1$	$4$	$0$	$- 2$	$- 3$

Etapa 4.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$3$	$1$	$4$	$0$	$- 2$	$- 3$

	$1$

Etapa 4.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(3)$ e coloque o resultado de $(3)$ sob o próximo termo no dividendo $(4)$ .

$3$	$1$	$4$	$0$	$- 2$	$- 3$
		$3$
	$1$

Etapa 4.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$3$	$1$	$4$	$0$	$- 2$	$- 3$
		$3$
	$1$	$7$

Etapa 4.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(7)$ pelo divisor $(3)$ e coloque o resultado de $(21)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$3$	$1$	$4$	$0$	$- 2$	$- 3$
		$3$	$21$
	$1$	$7$

Etapa 4.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$3$	$1$	$4$	$0$	$- 2$	$- 3$
		$3$	$21$
	$1$	$7$	$21$

Etapa 4.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(21)$ pelo divisor $(3)$ e coloque o resultado de $(63)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 2)$ .

$3$	$1$	$4$	$0$	$- 2$	$- 3$
		$3$	$21$	$63$
	$1$	$7$	$21$

Etapa 4.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$3$	$1$	$4$	$0$	$- 2$	$- 3$
		$3$	$21$	$63$
	$1$	$7$	$21$	$61$

Etapa 4.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(61)$ pelo divisor $(3)$ e coloque o resultado de $(183)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 3)$ .

$3$	$1$	$4$	$0$	$- 2$	$- 3$
		$3$	$21$	$63$	$183$
	$1$	$7$	$21$	$61$

Etapa 4.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$3$	$1$	$4$	$0$	$- 2$	$- 3$
		$3$	$21$	$63$	$183$
	$1$	$7$	$21$	$61$	$180$

Etapa 4.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{3} + 7 x^{2} + (21) x + 61 + \frac{180}{x - 3}$

Etapa 4.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{3} + 7 x^{2} + 21 x + 61 + \frac{180}{x - 3}$

Etapa 5

Como $3 > 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética são positivos, $3$ é um limite superior das raízes reais da função.

Limite superior: $3$

Etapa 6

Determine os limites superior e inferior.

Limites superiores: $1, 3$

No Lower Bounds

Etapa 7