Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} - x - 2$

Etapa 1

Encontre cada combinação de $\pm \frac{p}{q}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2$

Etapa 2

Aplique a divisão sintética em $\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - x - 2}{x + 1}$ quando $x = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 1$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$

Etapa 2.2

O primeiro número no dividendo $(2)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 1$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$

	$2$

Etapa 2.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(2)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(- 2)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 4)$ .

$- 1$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$
		$- 2$
	$2$

Etapa 2.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$
		$- 2$
	$2$	$- 6$

Etapa 2.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 6)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(6)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 1)$ .

$- 1$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$
		$- 2$	$6$
	$2$	$- 6$

Etapa 2.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$
		$- 2$	$6$
	$2$	$- 6$	$5$

Etapa 2.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(5)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(- 5)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 2)$ .

$- 1$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$
		$- 2$	$6$	$- 5$
	$2$	$- 6$	$5$

Etapa 2.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$
		$- 2$	$6$	$- 5$
	$2$	$- 6$	$5$	$- 7$

Etapa 2.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$2 x^{2} + - 6 x + 5 + \frac{- 7}{x + 1}$

Etapa 2.10

Simplifique o polinômio do quociente.

$2 x^{2} - 6 x + 5 - \frac{7}{x + 1}$

Etapa 3

Como $- 1 < 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética se alternam, $- 1$ é um limite inferior das raízes reais da função.

Limite inferior: $- 1$

Etapa 4

Aplique a divisão sintética em $\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - x - 2}{x + \frac{1}{2}}$ quando $x = - \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$

Etapa 4.2

O primeiro número no dividendo $(2)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$

	$2$

Etapa 4.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(2)$ pelo divisor $(- \frac{1}{2})$ e coloque o resultado de $(- 1)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 4)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$
		$- 1$
	$2$

Etapa 4.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$
		$- 1$
	$2$	$- 5$

Etapa 4.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 5)$ pelo divisor $(- \frac{1}{2})$ e coloque o resultado de $(\frac{5}{2})$ sob o próximo termo no dividendo $(- 1)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$
		$- 1$	$\frac{5}{2}$
	$2$	$- 5$

Etapa 4.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$
		$- 1$	$\frac{5}{2}$
	$2$	$- 5$	$\frac{3}{2}$

Etapa 4.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(\frac{3}{2})$ pelo divisor $(- \frac{1}{2})$ e coloque o resultado de $(- \frac{3}{4})$ sob o próximo termo no dividendo $(- 2)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$
		$- 1$	$\frac{5}{2}$	$- \frac{3}{4}$
	$2$	$- 5$	$\frac{3}{2}$

Etapa 4.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$
		$- 1$	$\frac{5}{2}$	$- \frac{3}{4}$
	$2$	$- 5$	$\frac{3}{2}$	$- \frac{11}{4}$

Etapa 4.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$2 x^{2} + - 5 x + \frac{3}{2} + \frac{- \frac{11}{4}}{x + \frac{1}{2}}$

Etapa 4.10

Simplifique o polinômio do quociente.

$2 x^{2} - 5 x + \frac{3}{2} - \frac{11}{2 (2 x + 1)}$

Etapa 5

Como $- \frac{1}{2} < 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética se alternam, $- \frac{1}{2}$ é um limite inferior das raízes reais da função.

Limite inferior: $- \frac{1}{2}$

Etapa 6

Aplique a divisão sintética em $\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - x - 2}{x + 2}$ quando $x = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 2$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(2)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 2$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$

	$2$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(2)$ pelo divisor $(- 2)$ e coloque o resultado de $(- 4)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 4)$ .

$- 2$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$
		$- 4$
	$2$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 2$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$
		$- 4$
	$2$	$- 8$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 8)$ pelo divisor $(- 2)$ e coloque o resultado de $(16)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 1)$ .

$- 2$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$
		$- 4$	$16$
	$2$	$- 8$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 2$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$
		$- 4$	$16$
	$2$	$- 8$	$15$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(15)$ pelo divisor $(- 2)$ e coloque o resultado de $(- 30)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 2)$ .

$- 2$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$
		$- 4$	$16$	$- 30$
	$2$	$- 8$	$15$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 2$	$2$	$- 4$	$- 1$	$- 2$
		$- 4$	$16$	$- 30$
	$2$	$- 8$	$15$	$- 32$

Etapa 6.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$2 x^{2} + - 8 x + 15 + \frac{- 32}{x + 2}$

Etapa 6.10

Simplifique o polinômio do quociente.

$2 x^{2} - 8 x + 15 - \frac{32}{x + 2}$

Etapa 7

Como $- 2 < 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética se alternam, $- 2$ é um limite inferior das raízes reais da função.

Limite inferior: $- 2$

Etapa 8

Determine os limites superior e inferior.

Nenhum limite superior

Limites inferiores: $- 1, - \frac{1}{2}, - 2$

Etapa 9