Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15$

Etapa 1

Encontre cada combinação de $\pm \frac{p}{q}$ .

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Etapa 1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Etapa 1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{4}, \pm 15, \pm \frac{15}{2}, \pm \frac{15}{4}$

Etapa 2

Aplique a divisão sintética em $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + 1}$ quando $x = - 1$ .

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Etapa 2.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Etapa 2.2

O primeiro número no dividendo $(4)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Etapa 2.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(4)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(- 4)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 12)$ .

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 4$
	$4$

Etapa 2.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 4$
	$4$	$- 16$

Etapa 2.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 16)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(16)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 1)$ .

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 4$	$16$
	$4$	$- 16$

Etapa 2.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 4$	$16$
	$4$	$- 16$	$15$

Etapa 2.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(15)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(- 15)$ sob o próximo termo no dividendo $(15)$ .

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 4$	$16$	$- 15$
	$4$	$- 16$	$15$

Etapa 2.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 4$	$16$	$- 15$
	$4$	$- 16$	$15$	$0$

Etapa 2.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$4 x^{2} + - 16 x + 15$

Etapa 2.10

Simplifique o polinômio do quociente.

$4 x^{2} - 16 x + 15$

Etapa 3

Como $- 1 < 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética se alternam, $- 1$ é um limite inferior das raízes reais da função.

Limite inferior: $- 1$

Etapa 4

Aplique a divisão sintética em $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + 3}$ quando $x = - 3$ .

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Etapa 4.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Etapa 4.2

O primeiro número no dividendo $(4)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Etapa 4.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(4)$ pelo divisor $(- 3)$ e coloque o resultado de $(- 12)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 12)$ .

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 12$
	$4$

Etapa 4.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 12$
	$4$	$- 24$

Etapa 4.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 24)$ pelo divisor $(- 3)$ e coloque o resultado de $(72)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 1)$ .

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 12$	$72$
	$4$	$- 24$

Etapa 4.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 12$	$72$
	$4$	$- 24$	$71$

Etapa 4.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(71)$ pelo divisor $(- 3)$ e coloque o resultado de $(- 213)$ sob o próximo termo no dividendo $(15)$ .

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 12$	$72$	$- 213$
	$4$	$- 24$	$71$

Etapa 4.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 12$	$72$	$- 213$
	$4$	$- 24$	$71$	$- 198$

Etapa 4.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$4 x^{2} + - 24 x + 71 + \frac{- 198}{x + 3}$

Etapa 4.10

Simplifique o polinômio do quociente.

$4 x^{2} - 24 x + 71 - \frac{198}{x + 3}$

Etapa 5

Como $- 3 < 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética se alternam, $- 3$ é um limite inferior das raízes reais da função.

Limite inferior: $- 3$

Etapa 6

Aplique a divisão sintética em $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + \frac{3}{2}}$ quando $x = - \frac{3}{2}$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(4)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(4)$ pelo divisor $(- \frac{3}{2})$ e coloque o resultado de $(- 6)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 12)$ .

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 6$
	$4$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 6$
	$4$	$- 18$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 18)$ pelo divisor $(- \frac{3}{2})$ e coloque o resultado de $(27)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 1)$ .

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 6$	$27$
	$4$	$- 18$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 6$	$27$
	$4$	$- 18$	$26$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(26)$ pelo divisor $(- \frac{3}{2})$ e coloque o resultado de $(- 39)$ sob o próximo termo no dividendo $(15)$ .

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 6$	$27$	$- 39$
	$4$	$- 18$	$26$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 6$	$27$	$- 39$
	$4$	$- 18$	$26$	$- 24$

Etapa 6.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$4 x^{2} + - 18 x + 26 + \frac{- 24}{x + \frac{3}{2}}$

Etapa 6.10

Simplifique o polinômio do quociente.

$4 x^{2} - 18 x + 26 - \frac{48}{2 x + 3}$

Etapa 7

Como $- \frac{3}{2} < 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética se alternam, $- \frac{3}{2}$ é um limite inferior das raízes reais da função.

Limite inferior: $- \frac{3}{2}$

Etapa 8

Aplique a divisão sintética em $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x - 5}$ quando $x = 5$ .

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Etapa 8.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Etapa 8.2

O primeiro número no dividendo $(4)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Etapa 8.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(4)$ pelo divisor $(5)$ e coloque o resultado de $(20)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 12)$ .

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$20$
	$4$

Etapa 8.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$20$
	$4$	$8$

Etapa 8.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(8)$ pelo divisor $(5)$ e coloque o resultado de $(40)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 1)$ .

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$20$	$40$
	$4$	$8$

Etapa 8.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$20$	$40$
	$4$	$8$	$39$

Etapa 8.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(39)$ pelo divisor $(5)$ e coloque o resultado de $(195)$ sob o próximo termo no dividendo $(15)$ .

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$20$	$40$	$195$
	$4$	$8$	$39$

Etapa 8.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$20$	$40$	$195$
	$4$	$8$	$39$	$210$

Etapa 8.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$4 x^{2} + 8 x + 39 + \frac{210}{x - 5}$

Etapa 9

Como $5 > 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética são positivos, $5$ é um limite superior das raízes reais da função.

Limite superior: $5$

Etapa 10

Aplique a divisão sintética em $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + 5}$ quando $x = - 5$ .

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Etapa 10.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Etapa 10.2

O primeiro número no dividendo $(4)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Etapa 10.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(4)$ pelo divisor $(- 5)$ e coloque o resultado de $(- 20)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 12)$ .

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 20$
	$4$

Etapa 10.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 20$
	$4$	$- 32$

Etapa 10.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 32)$ pelo divisor $(- 5)$ e coloque o resultado de $(160)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 1)$ .

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 20$	$160$
	$4$	$- 32$

Etapa 10.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 20$	$160$
	$4$	$- 32$	$159$

Etapa 10.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(159)$ pelo divisor $(- 5)$ e coloque o resultado de $(- 795)$ sob o próximo termo no dividendo $(15)$ .

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 20$	$160$	$- 795$
	$4$	$- 32$	$159$

Etapa 10.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 20$	$160$	$- 795$
	$4$	$- 32$	$159$	$- 780$

Etapa 10.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$4 x^{2} + - 32 x + 159 + \frac{- 780}{x + 5}$

Etapa 10.10

Simplifique o polinômio do quociente.

$4 x^{2} - 32 x + 159 - \frac{780}{x + 5}$

Etapa 11

Como $- 5 < 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética se alternam, $- 5$ é um limite inferior das raízes reais da função.

Limite inferior: $- 5$

Etapa 12

Aplique a divisão sintética em $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + \frac{5}{2}}$ quando $x = - \frac{5}{2}$ .

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Etapa 12.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Etapa 12.2

O primeiro número no dividendo $(4)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Etapa 12.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(4)$ pelo divisor $(- \frac{5}{2})$ e coloque o resultado de $(- 10)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 12)$ .

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 10$
	$4$

Etapa 12.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 10$
	$4$	$- 22$

Etapa 12.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 22)$ pelo divisor $(- \frac{5}{2})$ e coloque o resultado de $(55)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 1)$ .

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 10$	$55$
	$4$	$- 22$

Etapa 12.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 10$	$55$
	$4$	$- 22$	$54$

Etapa 12.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(54)$ pelo divisor $(- \frac{5}{2})$ e coloque o resultado de $(- 135)$ sob o próximo termo no dividendo $(15)$ .

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 10$	$55$	$- 135$
	$4$	$- 22$	$54$

Etapa 12.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 10$	$55$	$- 135$
	$4$	$- 22$	$54$	$- 120$

Etapa 12.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$4 x^{2} + - 22 x + 54 + \frac{- 120}{x + \frac{5}{2}}$

Etapa 12.10

Simplifique o polinômio do quociente.

$4 x^{2} - 22 x + 54 - \frac{240}{2 x + 5}$

Etapa 13

Como $- \frac{5}{2} < 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética se alternam, $- \frac{5}{2}$ é um limite inferior das raízes reais da função.

Limite inferior: $- \frac{5}{2}$

Etapa 14

Aplique a divisão sintética em $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + \frac{5}{4}}$ quando $x = - \frac{5}{4}$ .

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Etapa 14.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Etapa 14.2

O primeiro número no dividendo $(4)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Etapa 14.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(4)$ pelo divisor $(- \frac{5}{4})$ e coloque o resultado de $(- 5)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 12)$ .

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 5$
	$4$

Etapa 14.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 5$
	$4$	$- 17$

Etapa 14.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 17)$ pelo divisor $(- \frac{5}{4})$ e coloque o resultado de $(\frac{85}{4})$ sob o próximo termo no dividendo $(- 1)$ .

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 5$	$\frac{85}{4}$
	$4$	$- 17$

Etapa 14.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 5$	$\frac{85}{4}$
	$4$	$- 17$	$\frac{81}{4}$

Etapa 14.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(\frac{81}{4})$ pelo divisor $(- \frac{5}{4})$ e coloque o resultado de $(- \frac{405}{16})$ sob o próximo termo no dividendo $(15)$ .

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 5$	$\frac{85}{4}$	$- \frac{405}{16}$
	$4$	$- 17$	$\frac{81}{4}$

Etapa 14.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 5$	$\frac{85}{4}$	$- \frac{405}{16}$
	$4$	$- 17$	$\frac{81}{4}$	$- \frac{165}{16}$

Etapa 14.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$4 x^{2} + - 17 x + \frac{81}{4} + \frac{- \frac{165}{16}}{x + \frac{5}{4}}$

Etapa 14.10

Simplifique o polinômio do quociente.

$4 x^{2} - 17 x + \frac{81}{4} - \frac{165}{4 (4 x + 5)}$

Etapa 15

Como $- \frac{5}{4} < 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética se alternam, $- \frac{5}{4}$ é um limite inferior das raízes reais da função.

Limite inferior: $- \frac{5}{4}$

Etapa 16

Aplique a divisão sintética em $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x - 15}$ quando $x = 15$ .

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Etapa 16.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Etapa 16.2

O primeiro número no dividendo $(4)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Etapa 16.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(4)$ pelo divisor $(15)$ e coloque o resultado de $(60)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 12)$ .

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$60$
	$4$

Etapa 16.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$60$
	$4$	$48$

Etapa 16.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(48)$ pelo divisor $(15)$ e coloque o resultado de $(720)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 1)$ .

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$60$	$720$
	$4$	$48$

Etapa 16.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$60$	$720$
	$4$	$48$	$719$

Etapa 16.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(719)$ pelo divisor $(15)$ e coloque o resultado de $(10785)$ sob o próximo termo no dividendo $(15)$ .

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$60$	$720$	$10785$
	$4$	$48$	$719$

Etapa 16.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$60$	$720$	$10785$
	$4$	$48$	$719$	$10800$

Etapa 16.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$4 x^{2} + 48 x + 719 + \frac{10800}{x - 15}$

Etapa 17

Como $15 > 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética são positivos, $15$ é um limite superior das raízes reais da função.

Limite superior: $15$

Etapa 18

Aplique a divisão sintética em $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + 15}$ quando $x = - 15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Etapa 18.2

O primeiro número no dividendo $(4)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Etapa 18.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(4)$ pelo divisor $(- 15)$ e coloque o resultado de $(- 60)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 12)$ .

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 60$
	$4$

Etapa 18.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 60$
	$4$	$- 72$

Etapa 18.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 72)$ pelo divisor $(- 15)$ e coloque o resultado de $(1080)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 1)$ .

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 60$	$1080$
	$4$	$- 72$

Etapa 18.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 60$	$1080$
	$4$	$- 72$	$1079$

Etapa 18.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1079)$ pelo divisor $(- 15)$ e coloque o resultado de $(- 16185)$ sob o próximo termo no dividendo $(15)$ .

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 60$	$1080$	$- 16185$
	$4$	$- 72$	$1079$

Etapa 18.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 60$	$1080$	$- 16185$
	$4$	$- 72$	$1079$	$- 16170$

Etapa 18.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$4 x^{2} + - 72 x + 1079 + \frac{- 16170}{x + 15}$

Etapa 18.10

Simplifique o polinômio do quociente.

$4 x^{2} - 72 x + 1079 - \frac{16170}{x + 15}$

Etapa 19

Como $- 15 < 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética se alternam, $- 15$ é um limite inferior das raízes reais da função.

Limite inferior: $- 15$

Etapa 20

Aplique a divisão sintética em $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x - \frac{15}{2}}$ quando $x = \frac{15}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Etapa 20.2

O primeiro número no dividendo $(4)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Etapa 20.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(4)$ pelo divisor $(\frac{15}{2})$ e coloque o resultado de $(30)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 12)$ .

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$30$
	$4$

Etapa 20.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$30$
	$4$	$18$

Etapa 20.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(18)$ pelo divisor $(\frac{15}{2})$ e coloque o resultado de $(135)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 1)$ .

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$30$	$135$
	$4$	$18$

Etapa 20.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$30$	$135$
	$4$	$18$	$134$

Etapa 20.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(134)$ pelo divisor $(\frac{15}{2})$ e coloque o resultado de $(1005)$ sob o próximo termo no dividendo $(15)$ .

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$30$	$135$	$1005$
	$4$	$18$	$134$

Etapa 20.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$30$	$135$	$1005$
	$4$	$18$	$134$	$1020$

Etapa 20.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$4 x^{2} + 18 x + 134 + \frac{1020}{x - \frac{15}{2}}$

Etapa 20.10

Simplifique o polinômio do quociente.

$4 x^{2} + 18 x + 134 + \frac{2040}{2 x - 15}$

Etapa 21

Como $\frac{15}{2} > 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética são positivos, $\frac{15}{2}$ é um limite superior das raízes reais da função.

Limite superior: $\frac{15}{2}$

Etapa 22

Aplique a divisão sintética em $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + \frac{15}{2}}$ quando $x = - \frac{15}{2}$ .

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Etapa 22.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Etapa 22.2

O primeiro número no dividendo $(4)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Etapa 22.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(4)$ pelo divisor $(- \frac{15}{2})$ e coloque o resultado de $(- 30)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 12)$ .

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 30$
	$4$

Etapa 22.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 30$
	$4$	$- 42$

Etapa 22.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 42)$ pelo divisor $(- \frac{15}{2})$ e coloque o resultado de $(315)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 1)$ .

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 30$	$315$
	$4$	$- 42$

Etapa 22.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 30$	$315$
	$4$	$- 42$	$314$

Etapa 22.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(314)$ pelo divisor $(- \frac{15}{2})$ e coloque o resultado de $(- 2355)$ sob o próximo termo no dividendo $(15)$ .

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 30$	$315$	$- 2355$
	$4$	$- 42$	$314$

Etapa 22.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 30$	$315$	$- 2355$
	$4$	$- 42$	$314$	$- 2340$

Etapa 22.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$4 x^{2} + - 42 x + 314 + \frac{- 2340}{x + \frac{15}{2}}$

Etapa 22.10

Simplifique o polinômio do quociente.

$4 x^{2} - 42 x + 314 - \frac{4680}{2 x + 15}$

Etapa 23

Como $- \frac{15}{2} < 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética se alternam, $- \frac{15}{2}$ é um limite inferior das raízes reais da função.

Limite inferior: $- \frac{15}{2}$

Etapa 24

Aplique a divisão sintética em $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x - \frac{15}{4}}$ quando $x = \frac{15}{4}$ .

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Etapa 24.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Etapa 24.2

O primeiro número no dividendo $(4)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Etapa 24.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(4)$ pelo divisor $(\frac{15}{4})$ e coloque o resultado de $(15)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 12)$ .

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$15$
	$4$

Etapa 24.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$15$
	$4$	$3$

Etapa 24.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(3)$ pelo divisor $(\frac{15}{4})$ e coloque o resultado de $(\frac{45}{4})$ sob o próximo termo no dividendo $(- 1)$ .

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$15$	$\frac{45}{4}$
	$4$	$3$

Etapa 24.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$15$	$\frac{45}{4}$
	$4$	$3$	$\frac{41}{4}$

Etapa 24.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(\frac{41}{4})$ pelo divisor $(\frac{15}{4})$ e coloque o resultado de $(\frac{615}{16})$ sob o próximo termo no dividendo $(15)$ .

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$15$	$\frac{45}{4}$	$\frac{615}{16}$
	$4$	$3$	$\frac{41}{4}$

Etapa 24.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$15$	$\frac{45}{4}$	$\frac{615}{16}$
	$4$	$3$	$\frac{41}{4}$	$\frac{855}{16}$

Etapa 24.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$4 x^{2} + 3 x + \frac{41}{4} + \frac{\frac{855}{16}}{x - \frac{15}{4}}$

Etapa 24.10

Simplifique o polinômio do quociente.

$4 x^{2} + 3 x + \frac{41}{4} + \frac{855}{4 (4 x - 15)}$

Etapa 25

Como $\frac{15}{4} > 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética são positivos, $\frac{15}{4}$ é um limite superior das raízes reais da função.

Limite superior: $\frac{15}{4}$

Etapa 26

Aplique a divisão sintética em $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + \frac{15}{4}}$ quando $x = - \frac{15}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 26.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Etapa 26.2

O primeiro número no dividendo $(4)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Etapa 26.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(4)$ pelo divisor $(- \frac{15}{4})$ e coloque o resultado de $(- 15)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 12)$ .

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 15$
	$4$

Etapa 26.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 15$
	$4$	$- 27$

Etapa 26.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 27)$ pelo divisor $(- \frac{15}{4})$ e coloque o resultado de $(\frac{405}{4})$ sob o próximo termo no dividendo $(- 1)$ .

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 15$	$\frac{405}{4}$
	$4$	$- 27$

Etapa 26.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 15$	$\frac{405}{4}$
	$4$	$- 27$	$\frac{401}{4}$

Etapa 26.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(\frac{401}{4})$ pelo divisor $(- \frac{15}{4})$ e coloque o resultado de $(- \frac{6015}{16})$ sob o próximo termo no dividendo $(15)$ .

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 15$	$\frac{405}{4}$	$- \frac{6015}{16}$
	$4$	$- 27$	$\frac{401}{4}$

Etapa 26.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 15$	$\frac{405}{4}$	$- \frac{6015}{16}$
	$4$	$- 27$	$\frac{401}{4}$	$- \frac{5775}{16}$

Etapa 26.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$4 x^{2} + - 27 x + \frac{401}{4} + \frac{- \frac{5775}{16}}{x + \frac{15}{4}}$

Etapa 26.10

Simplifique o polinômio do quociente.

$4 x^{2} - 27 x + \frac{401}{4} - \frac{5775}{4 (4 x + 15)}$

Etapa 27

Como $- \frac{15}{4} < 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética se alternam, $- \frac{15}{4}$ é um limite inferior das raízes reais da função.

Limite inferior: $- \frac{15}{4}$

Etapa 28

Determine os limites superior e inferior.

Limites superiores: $5, 15, \frac{15}{2}, \frac{15}{4}$

Limites inferiores: $- 1, - 3, - \frac{3}{2}, - 5, - \frac{5}{2}, - \frac{5}{4}, - 15, - \frac{15}{2}, - \frac{15}{4}$

Etapa 29