Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x - 5$

Etapa 1

Encontre cada combinação de $\pm \frac{p}{q}$ .

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Etapa 1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}$

Etapa 2

Aplique a divisão sintética em $\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x - 5}{x + 1}$ quando $x = - 1$ .

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Etapa 2.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 1$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

Etapa 2.2

O primeiro número no dividendo $(2)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 1$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

	$2$

Etapa 2.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(2)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(- 2)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 2)$ .

$- 1$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 2$
	$2$

Etapa 2.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 2$
	$2$	$- 4$

Etapa 2.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 4)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(4)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 3)$ .

$- 1$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 2$	$4$
	$2$	$- 4$

Etapa 2.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 2$	$4$
	$2$	$- 4$	$1$

Etapa 2.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(- 1)$ e coloque o resultado de $(- 1)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 5)$ .

$- 1$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 2$	$4$	$- 1$
	$2$	$- 4$	$1$

Etapa 2.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 1$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 2$	$4$	$- 1$
	$2$	$- 4$	$1$	$- 6$

Etapa 2.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$2 x^{2} + - 4 x + 1 + \frac{- 6}{x + 1}$

Etapa 2.10

Simplifique o polinômio do quociente.

$2 x^{2} - 4 x + 1 - \frac{6}{x + 1}$

Etapa 3

Como $- 1 < 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética se alternam, $- 1$ é um limite inferior das raízes reais da função.

Limite inferior: $- 1$

Etapa 4

Aplique a divisão sintética em $\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x - 5}{x - 5}$ quando $x = 5$ .

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Etapa 4.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

Etapa 4.2

O primeiro número no dividendo $(2)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

	$2$

Etapa 4.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(2)$ pelo divisor $(5)$ e coloque o resultado de $(10)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 2)$ .

$5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$10$
	$2$

Etapa 4.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$10$
	$2$	$8$

Etapa 4.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(8)$ pelo divisor $(5)$ e coloque o resultado de $(40)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 3)$ .

$5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$10$	$40$
	$2$	$8$

Etapa 4.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$10$	$40$
	$2$	$8$	$37$

Etapa 4.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(37)$ pelo divisor $(5)$ e coloque o resultado de $(185)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 5)$ .

$5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$10$	$40$	$185$
	$2$	$8$	$37$

Etapa 4.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$10$	$40$	$185$
	$2$	$8$	$37$	$180$

Etapa 4.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$2 x^{2} + 8 x + 37 + \frac{180}{x - 5}$

Etapa 5

Como $5 > 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética são positivos, $5$ é um limite superior das raízes reais da função.

Limite superior: $5$

Etapa 6

Aplique a divisão sintética em $\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x - 5}{x + 5}$ quando $x = - 5$ .

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Etapa 6.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

Etapa 6.2

O primeiro número no dividendo $(2)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

	$2$

Etapa 6.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(2)$ pelo divisor $(- 5)$ e coloque o resultado de $(- 10)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 2)$ .

$- 5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 10$
	$2$

Etapa 6.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 10$
	$2$	$- 12$

Etapa 6.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 12)$ pelo divisor $(- 5)$ e coloque o resultado de $(60)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 3)$ .

$- 5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 10$	$60$
	$2$	$- 12$

Etapa 6.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 10$	$60$
	$2$	$- 12$	$57$

Etapa 6.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(57)$ pelo divisor $(- 5)$ e coloque o resultado de $(- 285)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 5)$ .

$- 5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 10$	$60$	$- 285$
	$2$	$- 12$	$57$

Etapa 6.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 10$	$60$	$- 285$
	$2$	$- 12$	$57$	$- 290$

Etapa 6.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$2 x^{2} + - 12 x + 57 + \frac{- 290}{x + 5}$

Etapa 6.10

Simplifique o polinômio do quociente.

$2 x^{2} - 12 x + 57 - \frac{290}{x + 5}$

Etapa 7

Como $- 5 < 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética se alternam, $- 5$ é um limite inferior das raízes reais da função.

Limite inferior: $- 5$

Etapa 8

Aplique a divisão sintética em $\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x - 5}{x - \frac{5}{2}}$ quando $x = \frac{5}{2}$ .

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Etapa 8.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$\frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

Etapa 8.2

O primeiro número no dividendo $(2)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$\frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

	$2$

Etapa 8.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(2)$ pelo divisor $(\frac{5}{2})$ e coloque o resultado de $(5)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 2)$ .

$\frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$5$
	$2$

Etapa 8.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$\frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$5$
	$2$	$3$

Etapa 8.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(3)$ pelo divisor $(\frac{5}{2})$ e coloque o resultado de $(\frac{15}{2})$ sob o próximo termo no dividendo $(- 3)$ .

$\frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$5$	$\frac{15}{2}$
	$2$	$3$

Etapa 8.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$\frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$5$	$\frac{15}{2}$
	$2$	$3$	$\frac{9}{2}$

Etapa 8.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(\frac{9}{2})$ pelo divisor $(\frac{5}{2})$ e coloque o resultado de $(\frac{45}{4})$ sob o próximo termo no dividendo $(- 5)$ .

$\frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$5$	$\frac{15}{2}$	$\frac{45}{4}$
	$2$	$3$	$\frac{9}{2}$

Etapa 8.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$\frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$5$	$\frac{15}{2}$	$\frac{45}{4}$
	$2$	$3$	$\frac{9}{2}$	$\frac{25}{4}$

Etapa 8.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$2 x^{2} + 3 x + \frac{9}{2} + \frac{\frac{25}{4}}{x - \frac{5}{2}}$

Etapa 8.10

Simplifique o polinômio do quociente.

$2 x^{2} + 3 x + \frac{9}{2} + \frac{25}{2 (2 x - 5)}$

Etapa 9

Como $\frac{5}{2} > 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética são positivos, $\frac{5}{2}$ é um limite superior das raízes reais da função.

Limite superior: $\frac{5}{2}$

Etapa 10

Aplique a divisão sintética em $\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x - 5}{x + \frac{5}{2}}$ quando $x = - \frac{5}{2}$ .

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Etapa 10.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- \frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

Etapa 10.2

O primeiro número no dividendo $(2)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- \frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

	$2$

Etapa 10.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(2)$ pelo divisor $(- \frac{5}{2})$ e coloque o resultado de $(- 5)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 2)$ .

$- \frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 5$
	$2$

Etapa 10.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 5$
	$2$	$- 7$

Etapa 10.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 7)$ pelo divisor $(- \frac{5}{2})$ e coloque o resultado de $(\frac{35}{2})$ sob o próximo termo no dividendo $(- 3)$ .

$- \frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 5$	$\frac{35}{2}$
	$2$	$- 7$

Etapa 10.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 5$	$\frac{35}{2}$
	$2$	$- 7$	$\frac{29}{2}$

Etapa 10.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(\frac{29}{2})$ pelo divisor $(- \frac{5}{2})$ e coloque o resultado de $(- \frac{145}{4})$ sob o próximo termo no dividendo $(- 5)$ .

$- \frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 5$	$\frac{35}{2}$	$- \frac{145}{4}$
	$2$	$- 7$	$\frac{29}{2}$

Etapa 10.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- \frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 5$	$\frac{35}{2}$	$- \frac{145}{4}$
	$2$	$- 7$	$\frac{29}{2}$	$- \frac{165}{4}$

Etapa 10.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$2 x^{2} + - 7 x + \frac{29}{2} + \frac{- \frac{165}{4}}{x + \frac{5}{2}}$

Etapa 10.10

Simplifique o polinômio do quociente.

$2 x^{2} - 7 x + \frac{29}{2} - \frac{165}{2 (2 x + 5)}$

Etapa 11

Como $- \frac{5}{2} < 0$ e todos os sinais na linha inferior da divisão sintética se alternam, $- \frac{5}{2}$ é um limite inferior das raízes reais da função.

Limite inferior: $- \frac{5}{2}$

Etapa 12

Determine os limites superior e inferior.

Limites superiores: $5, \frac{5}{2}$

Limites inferiores: $- 1, - 5, - \frac{5}{2}$

Etapa 13