Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 4 x$

Etapa 1

Considere a fórmula do quociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot {(x + h)}^{2} + 4 (x + h)$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Reescreva ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot ((x + h) (x + h)) + 4 (x + h)$

Etapa 2.1.2.1.2

Expanda $(x + h) (x + h)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x (x + h) + h (x + h)) + 4 (x + h)$

Etapa 2.1.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 4 (x + h)$

Etapa 2.1.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 4 (x + h)$

Etapa 2.1.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 4 (x + h)$

Etapa 2.1.2.1.3.1.2

Multiplique $h$ por $h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 4 (x + h)$

Etapa 2.1.2.1.3.2

Some $x h$ e $h x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.3.2.1

Reordene $x$ e $h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 4 (x + h)$

Etapa 2.1.2.1.3.2.2

Some $h x$ e $h x$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 4 (x + h)$

Etapa 2.1.2.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 h x) + \frac{1}{2} h^{2} + 4 (x + h)$

Etapa 2.1.2.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 h x) + \frac{1}{2} h^{2} + 4 (x + h)$

Etapa 2.1.2.1.5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.5.2.1

Fatore $2$ de $2 h x$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (h x)) + \frac{1}{2} h^{2} + 4 (x + h)$

Etapa 2.1.2.1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (h x)) + \frac{1}{2} h^{2} + 4 (x + h)$

Etapa 2.1.2.1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{1}{2} h^{2} + 4 (x + h)$

Etapa 2.1.2.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $h^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + 4 (x + h)$

Etapa 2.1.2.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + 4 x + 4 h$

Etapa 2.1.2.2

A resposta final é $\frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + 4 x + 4 h$ .

$\frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + 4 x + 4 h$

Etapa 2.2

Reordene.

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Etapa 2.2.1

Mova $4 x$ .

$\frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + 4 h + 4 x$

Etapa 2.2.2

Mova $\frac{x^{2}}{2}$ .

$h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + 4 h + 4 x$

Etapa 2.2.3

Reordene $h x$ e $\frac{h^{2}}{2}$ .

$\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + 4 h + 4 x$

Etapa 2.3

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + 4 h + 4 x$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 4 x$

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + 4 h + 4 x$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 4 x$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + 4 h + 4 x - (\frac{x^{2}}{2} + 4 x)}{h}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + 4 h + 4 x - \frac{x^{2}}{2} - (4 x)}{h}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + 4 h + 4 x - \frac{x^{2}}{2} - 4 x}{h}$

Etapa 4.1.3

Subtraia $\frac{x^{2}}{2}$ de $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + 4 h + 4 x + 0 - 4 x}{h}$

Etapa 4.1.4

Some $\frac{h^{2}}{2}$ e $0$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + 4 h + 4 x - 4 x}{h}$

Etapa 4.1.5

Subtraia $4 x$ de $4 x$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + 4 h + 0}{h}$

Etapa 4.1.6

Some $\frac{h^{2}}{2} + h x + 4 h$ e $0$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + 4 h}{h}$

Etapa 4.1.7

Fatore $h$ de $\frac{h^{2}}{2} + h x + 4 h$ .

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Etapa 4.1.7.1

Fatore $h$ de $\frac{h^{2}}{2}$ .

$\frac{h \frac{h}{2} + h x + 4 h}{h}$

Etapa 4.1.7.2

Fatore $h$ de $h x$ .

$\frac{h (\frac{h}{2}) + h (x) + 4 h}{h}$

Etapa 4.1.7.3

Fatore $h$ de $4 h$ .

$\frac{h (\frac{h}{2}) + h (x) + h \cdot 4}{h}$

Etapa 4.1.7.4

Fatore $h$ de $h (\frac{h}{2}) + h (x)$ .

$\frac{h (\frac{h}{2} + x) + h \cdot 4}{h}$

Etapa 4.1.7.5

Fatore $h$ de $h (\frac{h}{2} + x) + h \cdot 4$ .

$\frac{h (\frac{h}{2} + x + 4)}{h}$

Etapa 4.1.8

Para escrever $x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{h (\frac{h}{2} + x \cdot \frac{2}{2} + 4)}{h}$

Etapa 4.1.9

Combine $x$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{h (\frac{h}{2} + \frac{x \cdot 2}{2} + 4)}{h}$

Etapa 4.1.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{h (\frac{h + x \cdot 2}{2} + 4)}{h}$

Etapa 4.1.11

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{h (\frac{h + 2 x}{2} + 4)}{h}$

Etapa 4.1.12

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{h (\frac{h + 2 x}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2})}{h}$

Etapa 4.1.13

Combine $4$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{h (\frac{h + 2 x}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2})}{h}$

Etapa 4.1.14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{h \frac{h + 2 x + 4 \cdot 2}{2}}{h}$

Etapa 4.1.15

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{h \frac{h + 2 x + 8}{2}}{h}$

Etapa 4.2

Combine $h$ e $\frac{h + 2 x + 8}{2}$ .

$\frac{\frac{h (h + 2 x + 8)}{2}}{h}$

Etapa 4.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{h (h + 2 x + 8)}{2} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.4

Cancele o fator comum de $h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{h (h + 2 x + 8)}{2} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{h + 2 x + 8}{2}$

Etapa 5