Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1

Considere a fórmula do quociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

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Etapa 2.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

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Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

Etapa 2.1.2

A resposta final é $\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

Etapa 2.2

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} - (\frac{1}{x^{2}})}{h}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{{(x + h)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

Etapa 4.1.2

Reescreva $\frac{1^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ como ${(\frac{1}{x + h})}^{2}$ .

$\frac{{(\frac{1}{x + h})}^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

Etapa 4.1.3

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(\frac{1}{x})}^{2}$ .

$\frac{{(\frac{1}{x + h})}^{2} - {(\frac{1}{x})}^{2}}{h}$

Etapa 4.1.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \frac{1}{x + h}$ e $b = \frac{1}{x}$ .

$\frac{(\frac{1}{x + h} + \frac{1}{x}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Etapa 4.1.5

Simplifique.

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Etapa 4.1.5.1

Para escrever $\frac{1}{x + h}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Etapa 4.1.5.2

Para escrever $\frac{1}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{(\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Etapa 4.1.5.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + h) x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1.5.3.1

Multiplique $\frac{1}{x + h}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{x}{(x + h) x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Etapa 4.1.5.3.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{(\frac{x}{(x + h) x} + \frac{x + h}{x (x + h)}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Etapa 4.1.5.3.3

Reordene os fatores de $(x + h) x$ .

$\frac{(\frac{x}{x (x + h)} + \frac{x + h}{x (x + h)}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Etapa 4.1.5.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{x + x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Etapa 4.1.5.5

Some $x$ e $x$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Etapa 4.1.5.6

Para escrever $\frac{1}{x + h}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x})}{h}$

Etapa 4.1.5.7

Para escrever $- \frac{1}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h})}{h}$

Etapa 4.1.5.8

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + h) x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1.5.8.1

Multiplique $\frac{1}{x + h}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{x}{(x + h) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h})}{h}$

Etapa 4.1.5.8.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{x}{(x + h) x} - \frac{x + h}{x (x + h)})}{h}$

Etapa 4.1.5.8.3

Reordene os fatores de $(x + h) x$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{x}{x (x + h)} - \frac{x + h}{x (x + h)})}{h}$

Etapa 4.1.5.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{x - (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.10

Reescreva $\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 4.1.5.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{x - x - h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.10.2

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{0 - h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.10.3

Subtraia $h$ de $0$ .

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{- h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot - 1 \frac{h}{x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.7

Combine expoentes.

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Etapa 4.1.7.1

Fatore o negativo.

$\frac{- (\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{h}{x (x + h)})}{h}$

Etapa 4.1.7.2

Multiplique $\frac{2 x + h}{x (x + h)}$ por $\frac{h}{x (x + h)}$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x (x + h) (x (x + h))}}{h}$

Etapa 4.1.7.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{1} x (x + h) (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.7.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{1} x^{1} (x + h) (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.7.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{1 + 1} (x + h) (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.7.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} (x + h) (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.7.7

Eleve $x + h$ à potência de $1$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} ({(x + h)}^{1} (x + h))}}{h}$

Etapa 4.1.7.8

Eleve $x + h$ à potência de $1$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} ({(x + h)}^{1} {(x + h)}^{1})}}{h}$

Etapa 4.1.7.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{1 + 1}}}{h}$

Etapa 4.1.7.10

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Etapa 4.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $h$ .

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Etapa 4.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ para o numerador.

$\frac{- (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3.2

Fatore $h$ de $- (2 x + h) h$ .

$\frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{- (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Etapa 4.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 x + h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Etapa 5