Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{4 x - 2}{3 x}$

Etapa 1

Considere a fórmula do quociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

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Etapa 2.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

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Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = \frac{4 (x + h) - 2}{3 (x + h)}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.1.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.2.1.1

Fatore $2$ de $4 (x + h) - 2$ .

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Etapa 2.1.2.1.1.1

Fatore $2$ de $4 (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h)) - 2}{3 (x + h)}$

Etapa 2.1.2.1.1.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h)) + 2 (- 1)}{3 (x + h)}$

Etapa 2.1.2.1.1.3

Fatore $2$ de $2 (2 (x + h)) + 2 (- 1)$ .

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h) - 1)}{3 (x + h)}$

Etapa 2.1.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = \frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$

Etapa 2.1.2.2

A resposta final é $\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$ .

$\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$

Etapa 2.2

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = \frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$

$f (x) = \frac{2 (2 x - 1)}{3 x}$

$f (x + h) = \frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$

$f (x) = \frac{2 (2 x - 1)}{3 x}$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)} - (\frac{2 (2 x - 1)}{3 x})}{h}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Para escrever $\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2 (2 x - 1)}{3 x}}{h}$

Etapa 4.1.2

Para escrever $- \frac{2 (2 x - 1)}{3 x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2 (2 x - 1)}{3 x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Etapa 4.1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $3 (x + h) x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1.3.1

Multiplique $\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1) x}{3 (x + h) x} - \frac{2 (2 x - 1)}{3 x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Etapa 4.1.3.2

Multiplique $\frac{2 (2 x - 1)}{3 x}$ por $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1) x}{3 (x + h) x} - \frac{2 (2 x - 1) (x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.3.3

Reordene os fatores de $3 (x + h) x$ .

$\frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1) x}{3 x (x + h)} - \frac{2 (2 x - 1) (x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1) x - 2 (2 x - 1) (x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5

Reescreva $\frac{2 (2 x + 2 h - 1) x - 2 (2 x - 1) (x + h)}{3 x (x + h)}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 4.1.5.1

Fatore $2$ de $2 (2 x + 2 h - 1) x - 2 (2 x - 1) (x + h)$ .

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Etapa 4.1.5.1.1

Fatore $2$ de $2 (2 x + 2 h - 1) x$ .

$\frac{\frac{2 ((2 x + 2 h - 1) x) - 2 (2 x - 1) (x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.1.2

Fatore $2$ de $- 2 (2 x - 1) (x + h)$ .

$\frac{\frac{2 ((2 x + 2 h - 1) x) + 2 (- (2 x - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.1.3

Fatore $2$ de $2 ((2 x + 2 h - 1) x) + 2 (- (2 x - 1) (x + h))$ .

$\frac{\frac{2 ((2 x + 2 h - 1) x - (2 x - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{2 (2 x \cdot x + 2 h x - 1 x - (2 x - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.3

Simplifique.

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Etapa 4.1.5.3.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.5.3.1.1

Mova $x$ .

$\frac{\frac{2 (2 (x \cdot x) + 2 h x - 1 x - (2 x - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - 1 x - (2 x - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.3.2

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - (2 x - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x + (- (2 x) - - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x + (- 2 x - - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x + (- 2 x + 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.7

Expanda $(- 2 x + 1) (x + h)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.1.5.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 x (x + h) + 1 (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 x \cdot x - 2 x h + 1 (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 x \cdot x - 2 x h + 1 x + 1 h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.8

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.5.8.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.5.8.1.1

Mova $x$ .

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 (x \cdot x) - 2 x h + 1 x + 1 h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.8.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 x^{2} - 2 x h + 1 x + 1 h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.8.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 x^{2} - 2 x h + x + 1 h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.8.3

Multiplique $h$ por $1$ .

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 x^{2} - 2 x h + x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.9

Subtraia $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 (2 h x - x + 0 - 2 x h + x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.10

Some $2 h x$ e $0$ .

$\frac{\frac{2 (2 h x - x - 2 x h + x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.11

Subtraia $2 x h$ de $2 h x$ .

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Etapa 4.1.5.11.1

Mova $h$ .

$\frac{\frac{2 (- x + 2 x h - 2 x h + x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.11.2

Subtraia $2 x h$ de $2 x h$ .

$\frac{\frac{2 (- x + 0 + x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.12

Some $- x$ e $0$ .

$\frac{\frac{2 (- x + x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.13

Some $- x$ e $x$ .

$\frac{\frac{2 (0 + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.1.5.14

Some $0$ e $h$ .

$\frac{\frac{2 h}{3 x (x + h)}}{h}$

Etapa 4.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{2 h}{3 x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $h$ .

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Etapa 4.3.1

Fatore $h$ de $2 h$ .

$\frac{h \cdot 2}{3 x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{h \cdot 2}{3 x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{3 x (x + h)}$

Etapa 5