Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{2 x}{x - 1}$

Etapa 1

Considere a fórmula do quociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

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Etapa 2.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

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Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{(x + h) - 1}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.1.2.1

Remova os parênteses.

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{x + h - 1}$

Etapa 2.1.2.2

A resposta final é $\frac{2 (x + h)}{x + h - 1}$ .

$\frac{2 (x + h)}{x + h - 1}$

Etapa 2.2

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{x + h - 1}$

$f (x) = \frac{2 x}{x - 1}$

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{x + h - 1}$

$f (x) = \frac{2 x}{x - 1}$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{2 (x + h)}{x + h - 1} - (\frac{2 x}{x - 1})}{h}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Para escrever $\frac{2 (x + h)}{x + h - 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{\frac{2 (x + h)}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2 x}{x - 1}}{h}$

Etapa 4.1.2

Para escrever $- \frac{2 x}{x - 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$\frac{\frac{2 (x + h)}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

Etapa 4.1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + h - 1) (x - 1)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.1.3.1

Multiplique $\frac{2 (x + h)}{x + h - 1}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{\frac{2 (x + h) (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

Etapa 4.1.3.2

Multiplique $\frac{2 x}{x - 1}$ por $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$\frac{\frac{2 (x + h) (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{2 x (x + h - 1)}{(x - 1) (x + h - 1)}}{h}$

Etapa 4.1.3.3

Reordene os fatores de $(x - 1) (x + h - 1)$ .

$\frac{\frac{2 (x + h) (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{2 x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Etapa 4.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{2 (x + h) (x - 1) - 2 x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Etapa 4.1.5

Reescreva $\frac{2 (x + h) (x - 1) - 2 x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 4.1.5.1

Fatore $2$ de $2 (x + h) (x - 1) - 2 x (x + h - 1)$ .

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Etapa 4.1.5.1.1

Fatore $2$ de $2 (x + h) (x - 1)$ .

$\frac{\frac{2 ((x + h) (x - 1)) - 2 x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Etapa 4.1.5.1.2

Fatore $2$ de $- 2 x (x + h - 1)$ .

$\frac{\frac{2 ((x + h) (x - 1)) + 2 (- x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Etapa 4.1.5.1.3

Fatore $2$ de $2 ((x + h) (x - 1)) + 2 (- x (x + h - 1))$ .

$\frac{\frac{2 ((x + h) (x - 1) - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2

Expanda $(x + h) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.1.5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{2 (x (x - 1) + h (x - 1) - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 + h (x - 1) - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Etapa 4.1.5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 + h x + h \cdot - 1 - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Etapa 4.1.5.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.5.3.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{\frac{2 (x^{2} + x \cdot - 1 + h x + h \cdot - 1 - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Etapa 4.1.5.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{\frac{2 (x^{2} - 1 \cdot x + h x + h \cdot - 1 - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Etapa 4.1.5.3.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x + h \cdot - 1 - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Etapa 4.1.5.3.4

Mova $- 1$ para a esquerda de $h$ .

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x - 1 \cdot h - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Etapa 4.1.5.3.5

Reescreva $- 1 h$ como $- h$ .

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x - h - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Etapa 4.1.5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x - h - x \cdot x - x h - x \cdot - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Etapa 4.1.5.5

Simplifique.

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Etapa 4.1.5.5.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.1.5.5.1.1

Mova $x$ .

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x - h - (x \cdot x) - x h - x \cdot - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Etapa 4.1.5.5.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x - h - x^{2} - x h - x \cdot - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Etapa 4.1.5.5.2

Multiplique $- x \cdot - 1$ .

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Etapa 4.1.5.5.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x - h - x^{2} - x h + 1 x)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Etapa 4.1.5.5.2.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x - h - x^{2} - x h + x)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Etapa 4.1.5.6

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 (- x + h x - h + 0 - x h + x)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Etapa 4.1.5.7

Some $- x$ e $0$ .

$\frac{\frac{2 (- x + h x - h - x h + x)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Etapa 4.1.5.8

Some $- x$ e $x$ .

$\frac{\frac{2 (h x - h - x h + 0)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Etapa 4.1.5.9

Some $h x - h - x h$ e $0$ .

$\frac{\frac{2 (h x - h - x h)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Etapa 4.1.5.10

Subtraia $x h$ de $h x$ .

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Etapa 4.1.5.10.1

Reordene $h$ e $x$ .

$\frac{\frac{2 (- h + x h - x h)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Etapa 4.1.5.10.2

Subtraia $x h$ de $x h$ .

$\frac{\frac{2 (- h + 0)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Etapa 4.1.5.11

Some $- h$ e $0$ .

$\frac{\frac{2 \cdot - 1 h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Etapa 4.1.5.12

Combine expoentes.

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Etapa 4.1.5.12.1

Fatore o negativo.

$\frac{\frac{- (2 h)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Etapa 4.1.5.12.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{- 2 h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Etapa 4.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{- \frac{2 h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Etapa 4.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{2 h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $h$ .

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Etapa 4.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2 h}{(x + h - 1) (x - 1)}$ para o numerador.

$\frac{- 2 h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3.2

Fatore $h$ de $- 2 h$ .

$\frac{h \cdot - 2}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{h \cdot - 2}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Etapa 4.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Etapa 4.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Etapa 5